[Risolto] Algebra-Piano Cartesiano

@teresa33

Il punto B e il punto C appartengono alla retta data ed hanno rispettivamente ordinata 0 ed ascissa 4. Quindi le coordinate di B sono:

{y=0

{y= 1/3*(x+2)

Da cui si ricava: B=( - 2 ; 0)

Le coordinate di C sono:

{x= 4 

{y= 1/3*(x+2)

Da cui si ricava: C=( 4,2)

La distanza tra i due punti mi fornisce il lato del quadrato. 

L= 2*radice (10)

Indichiamo con H=(-4,0) il piede della perpendicolare condotta dal vertice A sull'asse x. 

Il triangolo rettangolo AHB ha:

ipotenusa = L_quadrato

il cateto HB=2 u

l'altro cateto AH = radice (40 - 4) = 6 u. 

I triangoli DKC e AHB sono congruenti in quanto hanno due angoli (corrispondenti) e il lato compreso ordinatamente congruenti.

Quindi il punto D ha coordinate:

D= (4 - 2  ;  2 + 6) = (2,8)

y = x/3+2/3

se y = 0 ; x = -2/3*3 = -2  

BB' = 4-(-2) = 6 

se x = 4 ; y = 4/3+2/3 = 6/3 = 2 

CB' = 2 

i triangoli BB'C e DD'C sono uguali per costruzione (in particolare DD' = BB' e CB' = CD'), pertanto :

ordinata di D = ordinata di D'+DD' = 2+6 = 8 

ascissa di D = ascissa di C-CD' = 4-2 = 2 

@teresa33 

Data la retta che passa per B e per C, puoi trovare le coordinate di questi due punti che hanno rispettivamente ordinata 0 e ascissa 4, sostituendo all'interno dell'equazione della retta:

$y=\frac{1}{3}*(x+2)$

Sostituisco y=0 per trovare l'ascissa del punto B:

$0=\frac{1}{3}*(x+2)$ --> x=-2 --> B(-2;0)

Sostituisco x=4 per trovare l'ordinata del punto C:

$y=\frac{1}{3}*(4+2)$ --> y=2 --> C(4;2)

Individuo la retta passante per C perpendicolare alla retta data r. Chiamerò questa nuova retta s.

In questo caso, il coefficiente angolare sarà reciproco e opposto di quello di r:

m_r=1/3 --> m_s=-3

L'equazione della generica retta passante per un punto e perpendicolare a un'altra retta è:

y-y_C=m_s*(x-x_C)

y-2=-3*(x-4) --> y=-3x+2+12 --> s: y=-3x+14

Individuo la retta passante per B perpendicolare alla retta data r. Chiamerò questa nuova retta t.

Anche in questo caso, il coefficiente angolare sarà reciproco e opposto di quello di r:

m_r=1/3 --> m_t=-3

y-0=-3*(x+2) --> y=-3x-6 --> t: y=-3x-6

Ora posso individuare le coordinate del punto A di cui conosco l'ascissa, come ho fatto all'inizio:

y=-3*(-4)-6=6 --> A(-4;6)

Individuo la retta passante per A parallela alla retta data r. Chiamerò questa nuova retta w.

In questo caso, il coefficiente angolare sarà lo stesso di quello di r:

m_r=m_w=1/3 

$y-6=\frac{1}{3}*(x+4)$ --> $y=\frac{x}{3}+\frac{4}{3}+6$

$y=\frac{x}{3}+\frac{22}{3}$

Per individuare le coordinate del punto A, interseco la retta s con la retta w:

{$y=-3x+14$

{$y=\frac{x}{3}+\frac{22}{3}$

Risolvo per sostituzione:

{$y=-3x+14$

{$-3x+14=\frac{x}{3}+\frac{22}{3}$

{$y=-3x+14$

{$\frac{-9x+42}{3}=\frac{x+22}{3}$

{$y=-3x+14$

{$-9x+42=x+22$

{$y=-3x+14$

{$10x=20$

{$y=-3*2+14$

{$x=2$

{$y=8$

{$x=2$

--> A(2;8)