Potreste aiutarmi con questo esercizio? Grazie mille in anticipo.
Giustifica la notazione $Y^X := {f: X \rightarrow Y}$ dimostrando che se $X$ ed $Y$ sono finiti allora $|Y^X|=|Y|^{|X|}$.
Prova di soluzione:
Ho provato prima a verificare ciò tramite il seguente insieme arbitrario ma non so se è una giustificazione adatta dato che non presenta generalizzazioni.
$\bigcup_{i \in \mathbb{N}_{≤3}}^{}(X_i=\left\{ x_i \right\}):=X,Y$
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Livello 5
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Livello 7
Ma che domande che fai !
Difficile che qualcuno ci capisca qualcosa.
Devi associare a ciascuno di |X| elementi uno scelto tra |Y|.Sono disposizioni con ripetizione e la tesi è provata.
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Livello 7
@eidosm geniale risolverlo con le disposizioni con ripetizione, grazie mille<3
La tua dimostrazione non è generalizzata. Si può dimostrare tramite il calcolo combinatorio o tramite il Principio di Induzione Matematica:
Se $X = \emptyset \equiv |X| = 0\,, \exists! f: X \rightarrow Y\,.$ Pertanto
\[\left|Y^\emptyset\right| = 1 = \left|Y\right|^0\,.\]
Supponiamo che la relazione sia vera per $|X| = n \mid \left|Y^X\right| = \left|Y\right|^n\,.$ Consideriamo
\[X' = X \cup \{\phi\},\, \phi \not\in X \mid |X'| = n + 1\,.\]
Ogni applicazione $f: X' \rightarrow Y$ è determinata dalla sua restrizione $f\Bigg|_{X}$, che può essere una qualsiasi delle $|Y|^n$ funzioni in $Y^X\,$, e dalla scelta di $f(\phi) \in Y\,$, con $|Y|$ possibilità. Ergo:
\[\left|Y^{X'}\right| = \left|Y^X\right| |Y| = |Y|^n |Y| = |Y|^{n + 1}\,.\]
Per induzione
\[\left|Y^X\right| = \left|Y\right|^{|X|} \: \forall X \mid |X| < +\infty\,.\]
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Livello 5
