Algebra lineare

Sia $M\in M_2(\mathbb{C})$, che possiamo scrivere esplicitamente come:

$A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}$

L'applicazione lineare $F(A)=A-A^t$ è dunque:

$F(A)=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
a & c \\
b & d
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & b-c \\
c-b & 0
\end{pmatrix}=(b-c)\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}$

Detto $b-c=t$, l'immagine di F è dunque:

$Im(F)=\{t\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}: t\in\mathbb{C}\}$

L'immagine ha dunque dimensione 1 e una sua base è:

$B(Im(F))=<\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}>$

Per trovare il nucleo, ci basta porre dunque:

$ F(A)=0$ 

e cioé

$\begin{pmatrix}
0 & b-c \\
c-b & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}$

da cui ricaviamo il sistema:

$\left\{ \begin{array}{cl}
b-c & =0 \\
c-b & =0
\end{array} \right. \rightarrow b=c$

Dunque le matrici del nucleo sono quelle in cui $b=c$ e dunque:

$N(F)=\{\begin{pmatrix}
a & b \\
b & d
\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{C})\}$

Nota che il nucleo ha dimensione 3 (ha tre parametri liberi).

Una sua base è ad esempio:

$B(N(F))=<\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}>$

Vediamo se Im(F) e N(F) sono una somma diretta.

Notiamo prima di tutto che:

$ dim(Im(F)) + dim(N(F)) = 1+3=4=dim(V)$

Inoltre è evidente che $Im(F)\cap N(F) = 0$ dato che la matrice in $Im(F)$ non si può esprimere come combinazione lineare delle matrici di $N(F)$

Dunque sono somma diretta.

Noemi