[Risolto] Algebra lineare

Per trovare il nucleo ti basta chiedere che:

$f(M)=0$ 

e cioé

$a -c +(a+b)t +(b-a)t^2+(b-c)t^3 = 0$

Risolvendo il sistema
{$a -c =0

{$a+b = 0$

{$b-a=0$

{$b-c=0$

noti che l'unica soluzione è quella banale $(a,b,c)=(0,0,0)$.

Dunque il Kerf è costituito dalla matrice nulla e ha quindi dimensione 0.

Dato che $dimV=3$ e $dimKerf=0$, abbiamo che per il teorema dimensionale $dimImf=3$

Prendiamo le immagini della base canonica (invece di scrivere matrici, scrivo i vettori (a,b,c) per comodità):

$f(1,0,0) = 1+t-t^2$

$f(0,1,0)=t+t^2+t^3$

$f(0,0,1)=-1-t^3$

Questa è una base di Imf. Per trovare le equazioni cartesiane, mettiamo i coefficienti dei polinomi trovati come colonne di una matrice:

$A=\begin{pmatrix}
1 & 0& -1 \\
1& 1& 0\\
-1 & 1 & 0\\
0 & 1& -1
\end{pmatrix}$

Questa matrice ha rango 3 (pari alla dimensione di dimImf).

Aggiungiamo una colonna di incognite:

$AB=\begin{pmatrix}
1 & 0& -1 &x\\
1& 1& 0 & y\\
-1 & 1 & 0 & z\\
0 & 1& -1 & t
\end{pmatrix}$

e  riduciamola a gradini (ometto i calcoli):

$AB=\begin{pmatrix}
1 & 0& -1 &x\\
0& 1& 2 & y-x\\
0 & 0 & 2 & -2x+y-z\\
0 & 0& 0 & -x-z+t
\end{pmatrix}$

Dato che la matrice orlata deve avere rango 3, chiediamo che l'ultima riga sia nulla e cioé-

$ -x-z+t = 0$

che è l'equazione cartesiana dell'immagine.

Noemi