[Risolto] algebra equazioni parametriche di secondo grado

RIPASSINO
------------------------------
In generale, il trinomio quadratico monico
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2)
con discriminante
* Δ = s^2 − 4*p
e zeri
* X = (s ± √Δ)/2
cioè
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
ha gli zeri X1 e X2 tali che
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto).
---------------
Se Δ >= 0 gli zeri sono reali e vale X1 <= X2.
---------------
L'equazione T(x) = 0 ha soluzioni X1 e X2 distinte se il discriminante Δ è non nullo
* X1 e X2 complesse coniugate se Δ < 0
* reali se Δ > 0.
---------------
Nel caso in cui i coefficienti (s, p) siano funzioni (s(k), p(k)) di un parametro k, ogni vincolo V(X1, X2) = 0 si traduce, tramite l'espressione X = (s ± √Δ)/2, in un'equazione in k.
------------------------------
ESERCIZIO 261
------------------------------
A) Si devono valutare tre espressioni.
---------------
A1) "la somma S1 dei reciproci dei quadrati delle radici"
* S1 = 1/((s - √(s^2 − 4*p))/2)^2 + 1/((s + √(s^2 − 4*p))/2)^2 =
= (s^2 - 2*p)/p^2
---------------
A2) "la somma S2 dei cubi delle radici"
* S2 = ((s - √(s^2 − 4*p))/2)^3 + ((s + √(s^2 − 4*p))/2)^3 =
= (s^2 - 3*p)*s
---------------
A3) "la somma S3 dei cubi dei reciproci delle radici"
* S3 = 1/((s - √(s^2 − 4*p))/2)^3 + 1/((s + √(s^2 − 4*p))/2)^3 =
= (s^2 - 3*p)*s/p^3
------------------------------
B) Per l'equazione, già monica,
* x^2 - (m + 1)*x + m = 0
la valutazione con meno operazioni è la seguente
* s = m + 1
* p = m
* a = s^2 = m^2 + 2 m + 1
* S2 = (a - 3*p)*s = m^3 + 1
* S3 = S2/p^3 = 1/m^3 + 1
* S1 = (a - 2*p)/p^2 = 1/m^2 + 1
------------------------------
C) "n.261 lettera b"
* S2 = m^3 + 1 = 9 ≡ m^3 = 8 = 2^3 ≡ m = 2