[Risolto] Algebra

\[\begin{cases} P(-1) = 1 : a - b + c = 2 \\ P(1) = 1 : a + b + c = 0 \\ \frac{1}{2}P(2) + \frac{1}{2}P(-2) = 6 : 4a + c = 6 \end{cases} \iff \begin{cases} a - b - a - b = 2 \\ c = - a - b \\ 4a + c = 6 \end{cases} \iff\]

\[\begin{cases} b = -1 \\ c = - a + 1 \\ a = \frac{5}{3} \end{cases} \iff \begin{cases} b = -1 \\ c = -\frac{2}{3} \\ a = \frac{5}{3} \end{cases}\,.\]

Dovendo valutare p(x) sui divisori di due, ∀ x ∈ {- 2, - 1, 1, 2}, conviene riscriverlo in modo da minimizzare le moltiplicazioni necessarie
* p(x) = x^3 + a*x^2 + b*x + c = ((x + a)*x + b)*x + c
Le coppie {x, p(x)} risultano
* {x, p(x)} ∈ {{- 2, 4*a - 2*b + c - 8}, {- 1, a - b + c - 1}, {1, a + b + c + 1}, {2, 4*a + 2*b + c + 8}}
Le condizioni date
* "P(-1)=P(1)=1 e 1/2P(2) + 1/2P(-2) = 6"
significano
* (p(- 1) = 1) & (p(1) = 1) & (p(2) + p(- 2) = 12) ≡
≡ (a - b + c - 1 = 1) & (a + b + c + 1 = 1) & (4*a + 2*b + c + 8 + 4*a - 2*b + c - 8 = 12) ≡
≡ (c = - a + b + 2) & (c = - a - b) & (c = 2*(3 - 2*a)) ≡
≡ (2*(3 - 2*a) = - a + b + 2) & (2*(3 - 2*a) = - a - b) & (c = 2*(3 - 2*a)) ≡
≡ (b = 4 - 3*a) & (b = 3*(a - 2)) & (c = 2*(3 - 2*a)) ≡
≡ (3*(a - 2) = 4 - 3*a) & (b = 3*(a - 2)) & (c = 2*(3 - 2*a)) ≡
≡ (a = 5/3) & (b = 3*(5/3 - 2)) & (c = 2*(3 - 2*5/3)) ≡
≡ (a = 5/3) & (b = - 1) & (c = - 2/3)
quindi
* p(x) = ((x + 5/3)*x - 1)*x - 2/3 = (3*x^3 + 5*x^2 - 3*x - 2)/3