Un pallone viene lanciato verso l’alto con una velocità di 35m/s. Dopo 1,5m viene lanciato un secondo pallone che raggiunge il primo nel momento in cui quest’ultimo si trova nel punto più alto della sua traiettoria.
a) con quale velocità è stato lanciato il secondo pallone?
b) quale dei due palloni arriva per primo a terra?
c) Dopo quanto tempo arriva l’altro?
le risposte sono a)40m/s b) il primo c)2,6s
11
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Livello 0
Dopo 1,5 metri o dopo 1,5 s? Non è la stessa cosa...
y = 1/2 g t^2 + vo t; legge del moto del pallone.
y = 1/2 * (- 9,8) * t^2 + 35 * t;
Nel punto più alto v = 0 m/s;
v = - 9,8 * t + 35;
- 9,8 * t + 35 = 0; troviamo il tempo di salita:
t = 35 / 9,8 = 3,57 s; (tempo di salita del 1° pallone);
h max = - 4,9 * 3,57^2 + 35 * 3,57 = 62,5 m; altezza del primo pallone
Se il secondo pallone viene lanciato dopo 1,5 s dal primo deve arrivare nel punto più alto insieme al primo in un tempo t = 3,57 - 1,5 = 2,07 s;
62,5 = - 4,9 * 2,07^2 + vo * 2,07;
vo * 2,07 = 62,5 + 21;
vo = 86/2,07 = 41,5 m/s; velocità di lancio del 2° pallone.
Il primo pallone resta in aria per il suo tempo di volo:
t volo1 = 2 * t salita = 2 * 3,57 = 7,14 s;
torna a terra dopo 7,14 s.
Il secondo pallone impiega il suo tempo di salita per raggiungere il punto più alto:
t salita2 = - vo / (- 9,8) = 41,5 / 9,8 = 4,23 s;
tempo di volo = 2 * 4,23 = 8,47 s;
torna a terra 8,47 s dopo il lancio che è avvenuto 1,5 s dopo il lancio del primo pallone:
t2 = 8,47 + 1,5 = 9,97 s
tempo di ritardo del secondo pallone sul primo:
t2 - t1 = 9,97 - 7,14 = 2,83 s.
Quindi torna a terra dopo il primo pallone
Ciao @ayoubbino
Ciao @ayoubbino di nuovo.
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Genius II
Un pallone lanciato a 126 km/h verso l'alto, anche se piccolo e massiccio, va a velocità limite e ricasca giù entro un paio di secondi. Magari, per un esercizio di cinematica, è assai meglio parlare di punti materiali, no?
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Col valore standard SI dell'accelerazione di gravità
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
un punto materiale lanciato verticalmente in alto con velocità V si ferma alla quota h in cui tutta l'energia cinetica s'è mutata in energia potenziale [h = V^2/(2*g)] e quindi la velocità di salita s'annulla.
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Il modello MRUA del punto materiale lanciato verticalmente in alto è
* y(t) = (V - (g/2)*t)*t
* v(t) = V - g*t
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1) Primo punto materiale P
Si arresta all'istante T > 0 in cui
* v(T) = V - g*T = 0 ≡ T = V/g = 35/9.80665 s
alla quota
* h = y(T) = V^2/(2*g) = 35^2/(2*9.80665) = 1225/19.6133 m
e ricade all'istante
* 2*T = 2*35/9.80665 = 200000/28019 ~= 7.138 s
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2) Secondo punto materiale S (lanciato con velocità x, incognita, con un ritardo di 3/2 s)
* y(t) = (x - (g/2)*(t - 3/2))*(t - 3/2)
* v(t) = x - g*(t - 3/2)
S raggiunge P al culmine, cioè
* y(T) = (x - (g/2)*(V/g - 3/2))*(V/g - 3/2) = V^2/(2*g) = h ≡
≡ x = V + (9/4)*g^2/(2*V - 3*g) =
= 35 + (9/4)*(9.80665)^2/(2*35 - 3*9.80665) ≡
≡ x = 374099454743/9275440000 ~= 40.332 m/s
e ricade all'istante in cui
* (y(t) = (x - (g/2)*(t - 3/2))*(t - 3/2) = 0) & (t > 0) ≡
≡ t = (3*g + 4*x)/(2*g) =
= (3*9.80665 + 4*374099454743/9275440000)/(2*9.80665) ≡
≡ t = 31594300000/3248606917 ~= 9.725 s
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Risposte ai quesiti
a) x ~= 40.332 m/s
b) P: 7.138 < 9.725
c) dopo 31594300000/3248606917 - 200000/28019 = 300000/115943 ~= 2.587 s
57382
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Genius I
