[Risolto] Aiutooo! Omotetie

• Rapporto di similitudine k.

Per calcolare il rapporto di similitudine occorre valutare il raggio della circonferenza γ. Operiamo con il metodo del completamento dei quadrati.

x²+y²-8x+4y+4=0

(x²-8x+16) - 16 + (y²+4y+4) - 4 +4 = 0

(x-4)²+(y+2)² = 16 = r²

Il raggio di γ vale 4, per cui

k = r'/r = (1/2)/4 = 1/8.

• Omotetia rispetto all'Origine O(0,0)

Trasformazione T

{x' = ± x/8

{y' = ± y/8

La sua inversa T⁻¹ è data dalla

{x = ± 8x'

{y = ± 8y'

• Equazione circonferenza γ' dopo la trasformazione. 

introduciamo T⁻¹ nell'equazione della circonferenza γ

(± 8x')² + (± 8y')² -8(±8x') + 4(±8y') + 4 = 0

Adottiamo la notazione standard senza apice

(± 8x)² + (± 8y)² -8(±8x) + 4(±8y) + 4 = 0

64x²+64y² -+ 64x ± 32y +4 = 0

semplifichiamo dividendo per 4

16x²+16y²-+16x ± 8y +1 = 0 

quest'ultima è l'equazione della circonferenza γ'

@gianlusalva00

Ciao.

L'equazione della circonferenza è data nella forma implicita per cui o la trasformiamo nella forma cartesiana (con il metodo del completamento dei quadrati) o determiniamo le caratteristiche di tale circonferenza tramite le informazioni contenute nei 3 coefficienti:

x^2 + y^2 - 8*x + 4*y + 4 = 0------> a=-8; b=+4; c=+4

Quindi:

{α = - a/2

{β = - b/2    da cui C(4,-2) è il centro

il raggio r = √(α^2 + β^2 - c)  = √(4^2 + (-2)^2 - 4) = 4

Quindi il rapporto di similitudine fra le due circonferenze è k=(1/2)/4=1/8

Per trovare quindi le circonferenze trasformate nell'omotetia con centro in O(0,0) ci sono 2 possibilità:

1) sostituire x---->8x   e y----->8y

oppure

2) sostituire x---->-8x e y---->-8y

Abbiamo quindi:

1) (8·x)^2 + (8·y)^2 - 8·(8·x) + 4·(8·y) + 4 = 0

64·x^2 + 64·y^2 - 64·x + 32·y + 4 = 0 (diviso 4)

16·x^2 + 16·y^2 - 16·x + 8·y + 1 = 0

2) (- 8·x)^2 + (- 8·y)^2 - 8·(- 8·x) + 4·(- 8·y) + 4 = 0

64·x^2 + 64·y^2 + 64·x - 32·y + 4 = 0  (diviso 4)

16·x^2 + 16·y^2 + 16·x - 8·y + 1 = 0

che sono le trasformate nell'omotetia di centro O(0,0)

Per avere le proprietà geometriche serve la forma normale standard, che si ricava dalla forma normale canonica fornita
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 8*x + 4*y + 4 = 0 ≡
≡ x^2 - 8*x + y^2 + 4*y + 4 = 0 ≡
≡ (x - 4)^2 - 4^2 + (y + 2)^2 - 2^2 + 4 = 0 ≡
≡ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = - (- 4^2 - 2^2 + 4) = 4^2
da cui
* centro C(4, - 2)
* raggio r = 4
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Ci sono due possibili omotetie centrate in O che riducono il raggio a 1/2 e che si ottengono con le sostituzioni
* (x = - 8*X) & (y = - 8*Y) ≡ Γ → Γ0 ≡ (- 8*X - 4)^2 + (- 8*Y + 2)^2 = 16
* (x = 8*X) & (y = 8*Y) ≡ Γ → Γ3 ≡ (8*X - 4)^2 + (8*Y + 2)^2 = 16
cioè non c'è una sola γ', ma
* Γ0 ≡ (X + 1/2)^2 + (Y - 1/4)^2 = 1/4
* Γ3 ≡ (X - 1/2)^2 + (Y + 1/4)^2 = 1/4
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D0%2C%28x-4%29%5E2%2B%28y%2B2%29%5E2%3D16%2C%28x%2B1%2F2%29%5E2%2B%28y-1%2F4%29%5E2%3D1%2F4%2C%28x-1%2F2%29%5E2%2B%28y%2B1%2F4%29%5E2%3D1%2F4%5D