aiutooo geometria

Question

E' dato un parallelogramma A B C D. Siano M, P, N e Q, rispettivamente, i punti medi di A B, B C, C D e D A. Indica R il punto in cui M N incontra A P e con S il punto in cui M N incontra D P.a. Dimostra che A B P Q, Q P C D, A M N D e M B C N sono parallelogrammi.b. Applicando il piccolo teorema di Talete, che cosa puoi dire dei segmenti DS e SP? Rispetto a quali rette parallele e a quali trasversali hai applicato il teorema? Similmente, che cosa puoi dire dei segmenti A R e R P ?c. Dimostra che R e S sono, rispettivamente, i centri dei parallelogrammi A B P Q e QPCD.d. Dimostra che R S  cong M R+S N. [attach]53947[/attach]

n_f · Accepted Answer

[attach]55012[/attach] a) ABPQ è parallelogramma perché AQ e BP sono paralleli e congruenti (essendo la metà di segmenti congruenti). Analogamente si dimostra che anche QPCD, AMND e MBCN sono parallelogrammi. b) Consideriamo le parallele DQ, MN e BC tagliate dalle trasversali DP e DC. Per Talete, essendo DN=NC anche DS=SP.  Analogamente considerando le stesse parallele, ma tagliate dalle trasversali AB e AP, si ha che essendo AM=MB anche AR=RP. c) Per le proprietà dei parallelogrammi, sappiamo che le diagonali si bisecano, cioè si intersecano nel loro punto medio che coincide con il centro del parallelogramma.  Essendo DS=SP, S è  punto medio della diagonale DP e dunque centro di DCPQ. Analogamente AR=RP, quindi R è punto medio di AP e centro di ABPQ. d) I triangoli DNS e SOP sono congruenti perché hanno DN=OP, DS=SP e l'angolo in S opposto al vertice.  Analogamente sono congruenti QOR e RMB, inoltre i quattro triangoli sono tutti congruenti tra loro. Dunque  NS=SO=OR=RM e di conseguenza RS = SO+OR = NS + RM   Noemi

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