Trova i coefficienti $a, b, c, d$ in modo che la curva di equazione $f(x)=\frac{a x^3+b x^2+c}{x^2+d}$ abbia per asintoti le rette di equazione $x=0, y=x-3$ e abbia un punto di minimo sull'asse $x$. Rappresenta la curva e, trovata l'equazione della retta tangente nel suo punto di ascissa $-1$, calcola l'area del triangolo che tale retta forma con gli asintoti di $f(x)$.
$$
[a=1, b=-3, c=4, d=0 ; y=9 x+9 ; 9]
$$
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Livello 0
Ciao.
La funzione y = (a·x^3 + b·x^2 + c)/(x^2 + d) ammette un solo asintoto verticale solo se d=0: Infatti il binomio (x^2+d) si può annullare se d<0 in due punti distinti dando origine a due asintoti verticali, mentre se d>0 il binomio non si annulla mai per cui non è possibile aver asintoti verticali.
La funzione si riduce quindi a:
y = (a·x^3 + b·x^2 + c)/x^2--------> y = a·x + b + c/x^2
La funzione così ridotta ammette asintoto obliquo y=ax+b
(il terzo termine del trinomio tende a 0 per x--->+/- inf )
Quindi se l'asintoto obliquo è y = x - 3 deve essere: a = 1 e b = -3
La funzione diventa quindi: y = (x^3 - 3·x^2 + c)/x^2
La derivata è: y' = (x^3 - 2·c)/x^3 Si deve imporre:
{y' =0
{y =0
dalla prima: (x^3 - 2·c)/x^3 = 0----> x = 2^(1/3)·c^(1/3)
quindi, per sostituzione:
y = ((2^(1/3)·c^(1/3))^3 - 3·(2^(1/3)·c^(1/3))^2 + c)/(2^(1/3)·c^(1/3))^2
y = 3·2^(1/3)·(c^(1/3) - 2^(2/3))/2
3·2^(1/3)·(c^(1/3) - 2^(2/3))/2 = 0----> c = 4
per x = 2^(1/3)·c^(1/3)-----> x = 2^(1/3)·4^(1/3)----> x = 2
per cui si ha: y'' =6·4/2^4= 3/2 >0 quindi minimo
La funzione è: y = (x^3 - 3·x^2 + 4)/x^2
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Genius II
