[Risolto] Aiutoo (anche solo la disequazione)♡

"appartenente all'asse x" vuol dire con ordinata zero, quindi
* P(x, 0), A(- 1, 0), B(5, 0)
sono tre punti allineati sulla stessa retta y = 0 (l'asse x).
Pertanto le loro reciproche distanze sono il valore assoluto delle differenze fra le ascisse
* |PA| = |x + 1|; |PB| = |x - 5|; |AB| = |- 1 - 5| = 6.
"il doppio della distanza di P da A" ≡ 2*|PA| = 2*|x + 1|
"la distanza di P da B" ≡ |PB| = |x - 5|
"il doppio della distanza di P da A è minore o uguale alla la distanza di P da B" ≡
≡ 2*|x + 1| <= |x - 5|
e questa è "la disequazione che traduce questa informazione".
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Poi, per "dedurre i possibili valori" (possibili per cosa? per render vera la diseguaglianza?), si devono tener presenti alcuni fatterelli.
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1) La soluzione di una disequazione con diseguaglianza d'ordine lasco è l'unione delle soluzioni di quella con l'ordine stretto e dell'equazione
* 2*|x + 1| <= |x - 5| ≡
≡ (2*|x + 1| < |x - 5|) oppure (2*|x + 1| = |x - 5|)
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2) I diversi casi nelle dis/equazioni con i moduli abs(f(x)) o |f(x)| sono essenzialmente tre. Il trattamento vale in generale per ogni forma di funzione f(x).
Si deve avere presente che eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
2a) |a| < b ≡ (- b < a < b) ≡ (- b < a) & (a < b) [intersezione]
2b) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) || (a = + b) [unione]
2c) |a| > b ≡ (a < - b) || (b < a) [unione]
Le dis/equazioni con più valori assoluti si trattano ripetendo il trattamento di un valore assoluto per volta con la sequenza {isolare, sdoppiare}. Occorre riscrivere tutte le espressioni prima isolando un |modulo| in ciascuna, poi eliminandolo, e infine, prima di riciclare, cercando di sostituire tutte quelle ormai prive di |moduli| con la loro implicazione più stretta.
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RISOLUZIONE
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* 2*|x + 1| < |x - 5| ≡
≡ (- |x - 5| < 2*(x + 1)) & (2*(x + 1) < |x - 5|) ≡
≡ (|x - 5| > - 2*(x + 1)) & (|x - 5| > 2*(x + 1)) ≡
≡ ((x - 5 < 2*(x + 1)) || (- 2*(x + 1) < x - 5)) & ((x - 5 < - 2*(x + 1)) || (2*(x + 1) < x - 5)) ≡
≡ ((x > - 7) || (x > 1)) & ((x < 1) || (x < - 7)) ≡
≡ ((x > - 7) || (x > 1)) & (x < 1) || ((x > - 7) || (x > 1)) & (x < - 7) ≡
≡ (x > - 7) & (x < 1) || (x > 1) & (x < 1) || (x > - 7) & (x < - 7) || (x > 1) & (x < - 7) ≡
≡ (- 7 < x < 1) || (insieme vuoto) || (insieme vuoto) || (insieme vuoto) ≡
≡ (- 7 < x < 1)
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* 2*|x + 1| = |x - 5| ≡
≡ (2*(x + 1) = - |x - 5|) || (2*(x + 1) = |x - 5|) ≡
≡ (|x - 5| = - 2*(x + 1)) & (|x - 5| = 2*(x + 1)) ≡
≡ ((x - 5 = 2*(x + 1)) || (x - 5 = - 2*(x + 1))) & ((x - 5 = - 2*(x + 1)) || (x - 5 = 2*(x + 1))) ≡
≡ ((x = - 7) || (x = 1)) & ((x = 1) || (x = - 7)) ≡
≡ (x = - 7) oppure (x = 1)
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* 2*|x + 1| <= |x - 5| ≡
≡ (2*|x + 1| < |x - 5|) oppure (2*|x + 1| = |x - 5|) ≡
≡ (- 7 < x < 1) oppure (x = - 7) oppure (x = 1) ≡
≡ - 7 <= x <= 1

P = (x,0)

2 sqrt [(x + 1)^2 + (0 - 0)^2 ] <= sqrt [ (x - 5)^2 + (0 - 0)^2 ]

sono due quantità positive, passando ai quadrati

4 (x^2 + 2x + 1) <= x^2 - 10 x + 25

4 x^2 - x^2 + 8x + 10 x + 4 - 25 <= 0

3 x^2 + 18 x - 21 <= 0

x^2 + 6x - 7 <= 0

le radici dell'equazione associata sono 1 e C/A = -7

Dunque    -7 <= x <= 1.