numero 233
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Livello 1
Ciao di nuovo:
(x - 6)^2 + (y + 3)^2 = 25-------> x^2 + y^2 - 12·x + 6·y + 20 = 0
Metti a sistema il passaggio della circonferenza x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0
dai punti A, B, C:
{2^2 + 0^2 + a·2 + b·0 + c = 0
{6^2 + 2^2 + a·6 + b·2 + c = 0
{10^2 + 0^2 + a·10 + b·0 + c = 0
Cioè risolvi:
{2·a + c = -4
{6·a + 2·b + c = -40
{10·a + c = -100
Ottenendo l'equazione nella forma implicita messa in evidenza in grassetto sopra.
Da essa puoi risalire alla forma cartesiana (la prima)
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Genius II
Ottenendo l'equazione nella forma implicita ? {direi canonica} messa in evidenza in grassetto sopra.
...
esiste una esplicita? ... sopra, pare, dica di sì?!
... ma la nomenclatura non coincide con la tua.
saluti
Buona sera. In effetti le nomenclature sono diverse. Io sono abituato a considerare legami impliciti del tipo
P(x,y) =0 con P polinomio in x ed y
analogamente a quanto si fa con una retta ( forma implicita ed esplicita )
L’altra forma l’ho sempre chiamata cartesiana piuttosto che esplicita ( che presupporrebbe di avere una funzione anziché un luogo geometrico più propriamente detto). Vedi anche ad esempio:
Buona sera……..
ok... {allora ... le mie conoscenze, poche!, non concordano con quelle della nuova leva ... come Andrea}
ma con la retta , e più in generale, con espressione esplicita intendiamo quella che "esplicita" una variabile in funzione delle altre ... del tipo :
y = f(x,z,...) se possibile.
a partire da una "appunto" implicita F(x,y,z,...)=0
... l'aggettivo "cartesiano" lo riferirei più al tipo di variabile (se cartes. o polare ...)
come appresso
... comunque saluti.
p.s.
la vedo all'antica ... come la treccani ...
La circonferenza per tre dati punti A, B, C è il circumcerchio Γ del triangolo ABC; lo si determina calcolando la posizione del circumcentro K(a, b) e la lunghezza del circumraggio R
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = R^2
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K(a, b) è l'unico punto del piano ad essere equidistante da
* A(2, 0), B(6, 2), C(10, 0)
e la comune distanza è il circumraggio R.
I tre valori (a, b, q) sono la soluzione del sistema di tre equazioni che traduce la definizione
* |KA|^2 = |KB|^2 = |KC|^2 = q ≡
≡ (a, b, q) = (6, - 3, 25)
quindi
* Γ ≡ (x - 6)^2 + (y + 3)^2 = 25 ≡
≡ x^2 + y^2 - 12*x + 6*y + 20 = 0
che è proprio il risultato atteso.
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DETTAGLI
---------------
Per determinare (a, b, q) occorre e basta: calcolare le tre distanze, risolvere il sistema delle definizioni.
* |KA|^2 = (a - 2)^2 + b^2
* |KB|^2 = (a - 6)^2 + (b - 2)^2
* |KC|^2 = (a - 10)^2 + b^2
* |KA|^2 = |KB|^2 = |KC|^2 = q ≡
≡ (a - 2)^2 + b^2 = (a - 6)^2 + (b - 2)^2 = (a - 10)^2 + b^2 = q ≡
≡ a^2 + b^2 - 4*a + 4 = a^2 + b^2 - 12*a - 4*b + 40 = a^2 + b^2 - 20*a + 100 = q ≡
≡ - 4*a + 4 = - 12*a - 4*b + 40 = - 20*a + 100 = q - (a^2 + b^2) ≡
≡ (- 4*a + 4 = - 12*a - 4*b + 40 = - 20*a + 100) & (- 20*a + 100 = q - (a^2 + b^2)) ≡
≡ (a = 6) & (b = - 3) & (- 20*6 + 100 = q - (6^2 + (- 3)^2)) ≡
≡ (a = 6) & (b = - 3) & (q = 25)
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Per ottenere la forma normale canonica del risultato atteso a partire dalla forma normale standard ottenuta applicando le definizioni occorre e basta: sottrarre membro a membro il secondo membro, sviluppare, commutare, ridurre.
* Γ ≡ (x - 6)^2 + (y + 3)^2 = 25 ≡
≡ (x - 6)^2 + (y + 3)^2 - 25 = 0 ≡
≡ x^2 - 12*x + 36 + y^2 + 6*y + 9 - 25 = 0 ≡
≡ x^2 + y^2 - 12*x + 6*y + 36 + 9 - 25 = 0 ≡
≡ x^2 + y^2 - 12*x + 6*y + 20 = 0
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Genius I