[Risolto] Aiuto x un problema punto b

@rob2005 

Ciao e benvenuto.

Devono essere verificate, contemporaneamente le condizioni: (SISTEMA)

{2·k + 1 ≥ 0

{k - 3 ≥ 0

che fornisce la risposta alla prima domanda: [k ≥ 3]

Quindi si impone:

2·(√(2·k + 1) + √(k - 3)) ≥ 8

√(2·k + 1) + √(k - 3) ≥ 4

√(2·k + 1) ≥ 4 - √(k - 3)

elevo al quadrato

2·k + 1 ≥ (4 - √(k - 3))^2

2·k + 1 ≥ - 8·√(k - 3) + k + 13

8·√(k - 3) ≥ 12 - k

Disequazione che equivale a risolvere due sistemi:

{12 - k ≥ 0

{64·(k - 3) ≥ (12 - k)^2

Quindi:

{k ≤ 12

{4 ≤ k ≤ 84

Quindi soluzione 1° sistema: [4 ≤ k ≤ 12]

Altro sistema:

{12 - k < 0

{k - 3 ≥ 0

soluzione: [k > 12]

unisco le due soluzioni trovate:

[4 ≤ k ≤ 12] ∨ [k > 12]   -------> [k ≥ 4] SOLUZIONE FINALE

In un rettangolo di dimensioni (b, h), il perimetro è p = 2*(b + h) e l'area è A = b*h; il rettangolo esiste se entrambe le misure sono reali positive.
Con
* k = parametro reale
* b = √(2*k + 1)
* h = √(k - 3)
si ha
* p(k) = 2*(√(2*k + 1) + √(k - 3))
* A(k) = (√(2*k + 1))*√(k - 3) = √(2*k^2 - 5*k - 3)
Vincolo di realtà
* (2*k + 1 >= 0) & (k - 3 >= 0) ≡ k >= 3
Vincolo di positività
* (√(2*k + 1) + √(k - 3) > 0) & (√(2*k^2 - 5*k - 3) > 0) ≡ k > 3
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Quesito a: vincolo di esistenza
* (k >= 3) & (k > 3) ≡ k > 3
IL RISULTATO ATTESO E' ERRATO.
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Quesito b: disequazione irrazionale
* p(k) = 2*(√(2*k + 1) + √(k - 3)) >= 8 ≡
≡ √(2*k + 1) + √(k - 3) >= 4 ≡
≡ √(2*k + 1) >= 4 - √(k - 3) ≡
≡ (2*k + 1) >= (4 - √(k - 3))^2 = k + 13 - 8*√(k - 3) ≡
≡ 8*√(k - 3) >= k + 13 - (2*k + 1) = 12 - k ≡
≡ 64*(k - 3) >= (12 - k)^2 = k^2 - 24*k + 144 ≡
≡ 64*(k - 3) - (k^2 - 24*k + 144) >= 0 ≡
≡ (k - 4)*(k - 84) <= 0 ≡
≡ (4 <= k <= 84)
Verifica anti spurie da quadrature
* p(103) = 2*(√(2*103 + 1) + √(103 - 3)) = 20 + 6*√23 >= 8
quindi la limitazione "k <= 84" è un artefatto indotto dalla procedura e il risultato è esattamente quello atteso.