In un triangolo ABC AB = l BAC =X ACB π/4 Costrunci, nel semipiano di origine AC non contenente B il triangolo rettangolo ACD, isoscele sulla base AC e determina per quali valori di x l'area del quadrilatero ABCDF vale l²
Si giunge all'equazione 2 sinx +4sinx cosx-3=0 il problema ha due soluzioni π/4 e arctan3
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Livello 0
ΑC = l/SIN(pi/4)·SIN(x + pi/4)
(Th seni)
ΑC = (√2·l)·SIN(x + pi/4)
SIN(x + pi/4) = SIN(x)·COS(pi/4) + SIN(pi/4)·COS(x) =
=√2·COS(x)/2 + √2·SIN(x)/2
Quindi:
ΑC = (√2·l)·(√2·COS(x)/2 + √2·SIN(x)/2)=
=l·COS(x) + l·SIN(x)
ΑD = CD = √2/2·(l·COS(x) + l·SIN(x))
Calcoli ora l'area di ACD + area di ABC e poni la somma pari ad l^2. Dovresti ottenere l'equazione goniometrica che risolve il problema.
Α(ACD) = 1/2·(√2/2·(l·COS(x) + l·SIN(x)))^2=
=l^2·SIN(x)·COS(x)/2 + l^2/4
Α(ABC) = 1/2·l·(l·COS(x) + l·SIN(x))·SIN(x)=
=l^2·SIN(x)·COS(x)/2 + l^2·SIN(x)^2/2
Quindi:
A = lΥ = SIN(x)^2·SIN(x)·COS(x)/2 + l^2/4 +
+(l^2·SIN(x)·COS(x)/2 + l^2·SIN(x)^2/2)
Deve essere:
l^2·SIN(x)·COS(x) + l^2·SIN(x)^2/2 + l^2/4 = l^2
4·SIN(x)·COS(x) + 2·SIN(x)^2 + 1 = 4
Poni:
Υ = SIN(x) ; Χ = COS(x)
Risolvi il sistema :
{4·Υ·Χ + 2·Υ^2 - 3 = 0
{Υ^2 + Χ^2 = 1
che porta alla soluzione:
[Υ = √2/2 ∧ Χ = √2/2 ; Υ = 3·√10/10 ∧ Χ = √10/10]
che comporta le due soluzioni date nel testo.
N.B. Hai fornito però un'equazione goniometrica che non corrisponde al problema!
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Genius II
