[Risolto] Aiuto Trigonometria

Il triangolo ABC è rettangolo perché inscritto in una semicirconferenza, con C angolo retto.

Per i teoremi sui triangoli rettangoli, detto $x$ l'angolo BAC, possiamo trovare il cateto opposto BC come:

$BC = ABsinx = 2rsinx$

Allo stesso modo il cateto adiacente AC è:

$AC=ABcosx=2rcosx$

Sapendo inoltre che $AD=AO=r$, possiamo cercare di calcolare CD usando il teorema del coseno sul triangolo DAC.

Per farlo nota che l'angolo DAC è supplementare di CAB:

$DAC = \pi - x$

dunque possiamo calcolare:

$CD^2 = AD^2 + AC^2 -2(AD)(AC)cos(\pi-x)$

$CD^2 = r^2 + (2rcosx)^2-2(r)(2rcosx)cos(\pi-x)$

Per gli angoli associati abbiamo che $cos(\pi-x)= -cos(x)$ dunque:

$CD^2 = r^2 + 4r^2cos^2x+2(r)(2rcosx)cos(x)$

$CD^2 = r^2 + 4r^2cos^2x+4r^2cos^2x$

$CD^2 = r^2 + 8r^2cos^2x$

Possiamo dunque scrivere che:

$f(x)=BC^2 + CD^2 = 4r^2sin^2x + r^2 + 8r^2cos^2x$

e trasformando tutto in coseno:

$f(x)=4r^2(1-cos^2x)+r^2+8r^2cos^2x$

$f(x)=4r^2-4r^2cos^2x+r^2+8r^2cos^2x$

$f(x)=5r^2+4r^2cos^2x$

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La lunghezza dell'ipotenusa del triangolo di cateti CD e BC è data ovviamente dal teorema di Pitagora

$CD^2+BC^2  = 5^2$

dunque ci basta porre:

$5r^2+4r^2cos^2x = 25$

$ cos^2 x = \frac{25-5r^2}{4r^2}$

$ cos x = \sqrt{\frac{25-5r^2}{4r^2}}$

$ x = arccos(\sqrt{\frac{25-5r^2}{4r^2}})$

Noemi