La funzione è polinomiale di terzo grado, con solo i termini di potenza dispari, quindi è una funzione dispari (cioè tale che $f(x)=-f(-x)$, ovvero è simmetrica rispetto all'origine).
l'origine è sicuramente un punto di intersezione con gli assi, infatti se cerchi gli zeri della funzione, cioè se poni
$x^3+10x=0$ puoi mettere in evidenza una $x$ e scrivere:
$x(x^2+10)=0$ che nei reali ha un'unica soluzione, ovvero $x=0$, in quanto $(x^2+10)=0$ ha soltanto soluzioni nel campo dei numeri complessi.
Pertanto l'unico incontro con gli assi è l'origine, ovvero $O(0,0)$
Per lo studio del segno usi la stessa fattorizzazione:
$x(x^2+10)>0$ e osservi che $(x^2+10)$ è sempre strettamente >0, quindi il segno è dato soltanto dal termine $x$:
Per $x<0$ hai che $f(x)<0$, per $x>0$ hai che $f(x)>0$
Per x che tende a +infinito la funzione tende a +infinito e per ragioni di simmetria già dette all'inizio, per x che tende a -infinito la funzione tende a -infinito.
Essendo polinomiale di 3 grado non ha asintoti obliqui, così come non ne ha di orizzontali nè verticali.