Osserva il triangolo della figura.
a. Calcola le misure di $B C, C Q$ e $B Q$.
b. Determina $\cos A \widehat{B} C$ e la lunghezza di $A Q$.
c. Indicato con $P$ un punto della bisettrice $A Q$ e con $x$ la misura del segmento $A P$, determina la funzione
$$
f(x)=\overline{A P}^2+\overline{B P}^2+\overline{C P}^2
$$
e il valore minimo assunto da essa nei limiti imposti dal problema.
77
punti
Livello 1
α = pi/6 + pi/6 = pi/3
ΒC = √(3^2 + 4^2 - 2·3·4·COS(pi/3))
(Th Carnot)
ΒC = √13
chiamo poi:
CQ = x
BQ = y
Th della bisettrice : x/y = 3/4
Quindi scrivo il sistema:
{x = 3/4·y
{x + y = √13
lo risolvo ed ottengo: [ x = 3·√13/7 ∧ y = 4·√13/7 ]
poi
9 = 4^2 + √13^2 - 2·4·√13·COS(β)
(sempre Th Carnot)
8·√13·COS(β) = 16 + 13 - 9
8·√13·COS(β) = 20
COS(β) = 20/(8·√13)----> COS(β) = 5·√13/26
misura della bisettrice:
ΑQ= √(4^2 + (4·√13/7)^2 - 2·4·(4·√13/7)·5·√13/26)
ΑQ = 12·√3/7
ΒΡ^2 = x^2 + 4^2 - 4·x·COS(pi/6)
ΒΡ^2 = x^2 - 2·√3·x + 16
CP^2 = x^2 + 3^2 - 3·x·COS(pi/6)
CP^2 = x^2 - 3·√3·x/2 + 9
f(x)=x^2 + (x^2 - 2·√3·x + 16) + (x^2 - 3·√3·x/2 + 9)
f(x)= 3·x^2 - 7·√3·x/2 + 25 con 0 < x < 12·√3/7
x = 7·√3/2/(2·3) asse parabola
x = 7·√3/12
3·(7·√3/12)^2 - 7·√3·(7·√3/12)/2 + 25=351/16
90049
punti
Genius II
462
punti
Livello 1
