[Risolto] Aiuto per esercizio di termodinamica

Bell'esercizio, grazie!!

Riporto per comodità in tabella i dati che abbiamo dalla traccia:

$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
Stato & p & V& T \\\hline
A & & V_A & T_A\\
B & & 2V_A & \\
C & & 64V_A & T_A\\\hline
\end{array} \\$

Non è necessario determinare tutti gli stati termodinamici, ma notiamo che essendo CA un'isoterma abbiamo che:

$ p_C = \frac{1}{64} p_A$

Inoltre sfruttando l'adiabatica BC possiamo dire che:

$ T_B V_B^{\gamma-1} = T_C V_C^{\gamma-1}$

da cui:

$ T_B = \frac{T_C V_C^{\gamma-1}}{V_B^{\gamma-1}} = \frac{T_A (64V_A)^{\gamma-1}}{(2V_A)^{\gamma-1}} = 32^{\gamma-1} T_A$

Passiamo ora a ragionare sul lavoro. 

Sappiamo che BC è adiabatica per cui:

$ Q=0$

$ \Delta U_{BC}=-L_{BC}$

CA è isoterma:

$ \Delta U_{CA}=0$

$ Q_{CA}=L_{CA} = nRT_A ln \frac{1}{64}$

La trasformazione AB è generica per cui non abbiamo equazioni a disposizione. 

Osserviamo però che avendo una trasformazione ciclica, la variazione di energia interna totale dev'essere nulla e quindi abbiamo:

$ \Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} + \Delta U_{CA} = 0$

 da cui:

$ \Delta U_{AB} -L_BC + 0 = 0$

$ \Delta U_{AB} = L_BC $

Lasciamo generico il lavoro $L_AB$ per il momento e ricaviamo che per il I principio della termodinamica dev'essere:

$ Q_{AB} = L_{AB}+\Delta U_{AB} = L_{AB}+L_{BC}$

Ricapitolando in tabella, per chiarezza:

$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
Trasm & Q & L& \Delta U \\\hline
AB & L_{AB}+L_{BC} &L_{AB} & L_{BC} \\
BC & 0 &L_{BC} & -L_{BC} \\
CA & nRT_Aln\frac{1}{64}& nRT_Aln\frac{1}{64} & 0 \\\hline
\end{array} \\$

Per calcolare il rendimento del ciclo ci serve:

$ \eta = 1-\frac{Q_{ced}}{Q_{ass}}$

Nota che il calore assorbito è $Q_{AB}$, mentre in CA il calore è ceduto (il lavoro è negativo).

Quindi abbiamo:

$\eta = 1-\frac{nRT_Aln\frac{1}{64}}{L_{AB}+L_{BC}}$

Ci tocca quindi calcolare il lavoro in AB e BC.

In BC abbiamo un'adiabatica, per cui abbiamo semplicemente:

$ L_{BC} = \frac{5}{2}nR(T_C-T_B) = \frac{7}{2}nRT_A(1-32^{\gamma-1})$

In un gas biatomico $\gamma=7/5$ per cui:

$32^{\gamma-1} = 32^{7/5-1} = 32^{2/5} = 4$

da cui 

$L_{BC} = \frac{7}{2}nRT_A \cdot (1-4) = -\frac{21}{2} nRT_A$

Per quanto riguarda la trasformazione AB, possiamo calcolare il lavoro come area sottesa al grafico. Dato che si forma un trapezio abbiamo semplicemente:

$ L_{AB} = \frac{(p_A+p_B)(V_B-V_A)}{2} = \frac{(p_A+p_B)V_A}{2}$

Dato che della pressione non conosciamo nulla, cerchiamo di riscrivere la precedente in funzione della temperatura (che abbiamo anche in $L_{BC}$). Svolgendo il prodotto:

$ L_{AB} =\frac{p_AV_A + p_BV_A}{2}$

Dalla legge dei gas perfetti abbiamo che:

$ p_AV_A = nRT_A$

Inoltre possiamo dire che:

$ p_BV_A = \frac{nRT_B}{V_B} V_A = \frac{nRT_A 32^{\gamma-1}}{2V_A}{V_A} =  2nRT_A$

per cui:

$ L_{AB} = \frac{nRT_A+2nRT_A}{2} = \frac{3}{2}nRT_A$

e dunque:

$L_{AB}+L_{BC} = \frac{3}{2}nRT_A -\frac{21}{2} nRT_A = -9nRT_A$

Possiamo calcolare $\eta$. Sfruttando le proprietà dei logaritmi abbiamo che $ln(1/64) = -ln64$ da cui:

$\eta = 1-\frac{-nRT_Aln64}{-9nRT_A} = 1-\frac{6ln}{9} = 1-\frac{2}{3}ln2$

Noemi