Aiuto per esercizio di matematica

C(4,-1/2)

che sostituito in 2·y - 2·x + 9 = 0 fornisce:

2·(- 1/2) - 2·4 + 9 = 0----> 0 = 0

C = (-a/2, -b/2) = ( 4; -1/2 )

risulta quindi

2*(-1/2) - 2*4 + 9 = -1 - 8 + 9 = 0

e la verifica é completata

A) Commutare, completare i quadrati, sottrarre membro a membro il termine noto, leggere le proprietà geometriche della circonferenza Γ.
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 8*x + y - 3 = 0 ≡
≡ x^2 - 8*x + y^2 + y - 3 = 0 ≡
≡ (x - 4)^2 - 4^2 + (y + 1/2)^2 - (1/2)^2 - 3 = 0 ≡
≡ (x - 4)^2 + (y + 1/2)^2 = 77/4
La circonferenza Γ ha centro C(4, - 1/2) e raggio r = √77/2
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B) Esplicitare la possibile retta diametrale d in y = f(x).
* d ≡ 2*y - 2*x + 9 = 0 ≡ y = f(x) = x - 9/2
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C) Effettuare la richiesta verifica che, se a buon fine, deve dare f(xC) = yC.
* y = f(xC) = xC - 9/2 = 4 - 9/2 = - 1/2 = yC: verifica a buon fine.

Per verificare se il centro della circonferenza di equazione $x^2+y^2-8x+y-3=0$ appartiene alla retta di equazione $2y-2x+9=0$, dobbiamo seguire questi passaggi:

1. Trovare le coordinate del centro della circonferenza.
2. Verificare se queste coordinate soddisfano l'equazione della retta.

Innanzitutto, scriviamo l'equazione della circonferenza nella forma canonica (x−h)2+(y−k)2=r2(x−h)2+(y−k)2=r2, dove $(h,k)$ sono le coordinate del centro e $r$ è il raggio.

L'equazione della circonferenza è data da $x^2+y^2-8x+y-3=0$. Completiamo il quadrato per il termine $x$ e raggruppiamo i termini relativi a $x$ e $y$:

$x^2-8x+y^2+y=3$

Per completare il quadrato, aggiungiamo e sottraiamo (8/2)2=16(8/2)2=16 per $x$ e (1/2)2=1/4(1/2)2=1/4 per $y$:

$x^2-8x+16-16+y^2+y+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=3$

Ora raggruppiamo i termini:

$(x^2-8x+16)+(y^2+y+\frac{1}{4})=\frac{27}{4}$

Completa il quadrato per $x$ e $y$:

(x−4)2+(y+12)2=274(x−4)2+(y+21​)2=427​

Ora possiamo vedere che il centro della circonferenza è $(h,k)=(4,-\frac{1}{2})$ e il raggio r=272r=227

​​.

Ora, verifichiamo se il centro $(4,-\frac{1}{2})$ appartiene alla retta $2y-2x+9=0$. Per farlo, sostituiremo $x$ e $y$ con le coordinate del centro:

$2\times \left(-\frac{1}{2}\right)-2\times 4+9=-1-8+9=0$

Quindi, il centro della circonferenza $(4,-\frac{1}{2})$ appartiene alla retta $2y-2x+9=0$.