Verifica che il centro della circonferenza di equazione x^2+y^2-8x+y-3=0
appartiene alla retta di equazione 2y-2x+9=0
Verifica che il centro della circonferenza di equazione x^2+y^2-8x+y-3=0
appartiene alla retta di equazione 2y-2x+9=0
C(4,-1/2)
che sostituito in 2·y - 2·x + 9 = 0 fornisce:
2·(- 1/2) - 2·4 + 9 = 0----> 0 = 0
C = (-a/2, -b/2) = ( 4; -1/2 )
risulta quindi
2*(-1/2) - 2*4 + 9 = -1 - 8 + 9 = 0
e la verifica é completata
A) Commutare, completare i quadrati, sottrarre membro a membro il termine noto, leggere le proprietà geometriche della circonferenza Γ.
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 8*x + y - 3 = 0 ≡
≡ x^2 - 8*x + y^2 + y - 3 = 0 ≡
≡ (x - 4)^2 - 4^2 + (y + 1/2)^2 - (1/2)^2 - 3 = 0 ≡
≡ (x - 4)^2 + (y + 1/2)^2 = 77/4
La circonferenza Γ ha centro C(4, - 1/2) e raggio r = √77/2
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B) Esplicitare la possibile retta diametrale d in y = f(x).
* d ≡ 2*y - 2*x + 9 = 0 ≡ y = f(x) = x - 9/2
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C) Effettuare la richiesta verifica che, se a buon fine, deve dare f(xC) = yC.
* y = f(xC) = xC - 9/2 = 4 - 9/2 = - 1/2 = yC: verifica a buon fine.
Per verificare se il centro della circonferenza di equazione x2+y2−8x+y−3=0x2+y2−8x+y−3=0 appartiene alla retta di equazione 2y−2x+9=02y−2x+9=0, dobbiamo seguire questi passaggi:
Innanzitutto, scriviamo l'equazione della circonferenza nella forma canonica (x−h)2+(y−k)2=r2(x−h)2+(y−k)2=r2, dove (h,k)(h,k) sono le coordinate del centro e rr è il raggio.
L'equazione della circonferenza è data da x2+y2−8x+y−3=0x2+y2−8x+y−3=0. Completiamo il quadrato per il termine xx e raggruppiamo i termini relativi a xx e yy:
x2−8x+y2+y=3x2−8x+y2+y=3
Per completare il quadrato, aggiungiamo e sottraiamo (8/2)2=16(8/2)2=16 per xx e (1/2)2=1/4(1/2)2=1/4 per yy:
x2−8x+16−16+y2+y+14−14=3x2−8x+16−16+y2+y+41−41=3
Ora raggruppiamo i termini:
(x2−8x+16)+(y2+y+14)=274(x2−8x+16)+(y2+y+41)=427
Completa il quadrato per xx e yy:
(x−4)2+(y+12)2=274(x−4)2+(y+21)2=427
Ora possiamo vedere che il centro della circonferenza è (h,k)=(4,−12)(h,k)=(4,−21) e il raggio r=272r=227
.
Ora, verifichiamo se il centro (4,−12)(4,−21) appartiene alla retta 2y−2x+9=02y−2x+9=0. Per farlo, sostituiremo xx e yy con le coordinate del centro:
2×(−12)−2×4+9=−1−8+9=02×(−21)−2×4+9=−1−8+9=0
Quindi, il centro della circonferenza (4,−12)(4,−21) appartiene alla retta 2y−2x+9=02y−2x+9=0.