In una circonferenza di centro $O$ e raggio di misura $10 a$, la somma della misura di una corda $A B$ e della sua distanza dal centro è uguale a $22 a$. Determina la misura della corda $A B$.
Suggerimento: indicata con $x$ la distanza della corda da $O$, si giunge a una equazione irrazionale.)
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Livello 1
r = 10·a
ΟΗ = x = distanza di O dalla corda AB
ΑΒ = 22·a - x
ΑΗ = ΗΒ = (22·a - x)/2
(22·a - x)/2 = √(r^2 - x^2)
(22·a - x)/2 = √(100·a^2 - x^2)
(x - 22·a)^2/4 = 100·a^2 - x^2
(x - 22·a)^2 = 4·(100·a^2 - x^2)
x^2 - 44·a·x + 484·a^2 - (400·a^2 - 4·x^2) = 0
5·x^2 - 44·a·x + 84·a^2 = 0
Risolvo ed ottengo:
x = 14·a/5 ∨ x = 6·a
Quindi due soluzioni:
ΑΒ = 22·a - 14/5·a---> ΑΒ = 96·a/5
ΑΒ = 22·a - 6·a---> ΑΒ = 16·a
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@lucianop 👍👌👍
r = 10 a;
OH = x;
AB + x = 22 a;
AB = 22a - x;
HB = AB / 2;
AB/2 = (22a - x) /2 = 11a - x/2;
Applichiamo il teorema di Pitagora nel triangolo OBH, ci manca HB = AB/2:
(AB/2)^2 = r^2 - OH^2;
(11a - x/2)^2 = (10a)^2 - x^2;
121 a^2 + x^2/4 - 11 a x = 100 a^2 - x^2
121 a^2 - 100 a^2 + x^2/4 - 11 a x + x^2 = 0;
21 a^2 + 5/4 x^2 - 11 a x = 0
84 a^2 + 5x^2 - 44 a x = 0;
5 x^2 - 44 a x + 84 a^2 = 0;
x = [+22a +- radice quadrata(22^2a^2 - 5 * 84a^2)] / 5;
x = [+ 22a +- radice(64a^2)] / 5;
x = [22a +- 8a] / 5;
x1 = (22a + 8a) / 5 = 30a/5 = 6a;
x2 = (22a - 8a) / 5 = 14 a / 5;
Abbiamo due soluzioni per la corda AB;
prendiamo x1 = OH;
AB = 22 a - 6a = 16 a; Corda AB; (1)
prendiamo x2 = OH = 14 a /5;
AB = 22a - 14 a/5 = 110a /5 - 14a/5 = 96/5 a; Corda AB; (2) (AB = 19,2 a).
Ciao @greggg
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le soluzioni sono 16a e 19,20a
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👍 👍 👍
