[Risolto] Aiuto matematica (TEOREMA DI EUCLIDE)

@lucrizyos 

1) In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 50 cm ed è divisa dall’altezza a essa relativa in due parti che sono una i 9/16 dell’altra. Calcola perimetro e area del triangolo. [risultati: 120 cm; 600 cm2]

50 = p1(1+9/16

p1 = 50*16/25 = 32 cm

p2 = 50-32 = 18 cm

C1 = √50*18 = 30 cm

C2 = √32*50 = 40 cm 

perimetro 2p = 30+40+50 = 120 cm

area A = 30*20 = 600 cm^2

2) In un triangolo rettangolo un cateto è 5/3 della sua proiezione sull’ipotenusa e la loro somma misura 96 cm. Calcola perimetro e area del triangolo. [risultati: 240 cm; 2400 cm2

p1*(1+5/3) = 96

8p1 = 96*3 

p1 = 36 cm

C1 = 36*5/3 = 60 cm 

h = √60^2-36^2 = 6√10^2-6^2 = 6*8 = 48 cm

p2 = h^2/p1 = 48^2/36 = 64 cm 

C2 = √(p1+p2)*p2 = √100*64 = 80 cm 

perimetro 2p = 60+80+100 = 240 cm

area  A = C1*c2/2 = 60*40 = 2400 cm^2

3) In un triangolo rettangolo le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa sono lunghe rispettivamente p1 = 24 m e p2 = 13,5 m. Determina la lunghezza dell’altezza relativa all’ipotenusa h e la lunghezza del perimetro. [risultati: 18 m; 90 m] 

h = √p1*p2 = 18

ipot. i = p1+p2 = 37,5 m 

C1 = √p1*i = √24*37,5 = 30,0 m

C2 = √p2*i = √13,5*37,5 = 22,5 m 

perim. 2p = i+C1+C2 = 60+30 = 90 m 

@lucrizyos 

9+16=25

proiezione cateto minore:

x=9/25*50= 18 cm

proiezione cateto maggiore:

y= 16/25*50= 32 cm

Cateto minore con il primo teorema di Euclide:

c= sqrt(18*50)= 30 cm

Cateto maggiore:

C = sqrt(32*50)= 40 cm

perimetro= 30+40+50= 120 cm

area= 1/2*30*40=600cm^2

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x=proiezione cateto

5/3*x = cateto

-----------------------(sommo)

8/3·x = 96------> x = 36 cm proiezione

5/3·36 = 60 cm  cateto

Pitagora : altezza=h =√(60^2 - 36^2) = 48 cm (relativa all'ipotenusa)

2° teorema di Euclide:

h^2=y*x-------> y=altra proiezione=h^2/x=48^2/36 = 64 cm

Ipotenusa=x+y=36+64=100 cm

Altro cateto=(Pitagora)= √(100^2 - 60^2) = 80 cm

perimetro=60 + 80 + 100 = 240 cm

Area=1/2·60·80 = 2400 cm^2

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Per il terzo esercizio provaci tu...

RIPASSO # 1: calcolo dei valori di cui siano dati somma e rapporto
Dati: (x + y = s) & (y = (m/n)*x) & (m < n)
Se y è m/n di x, ed x è n/n di se stesso, allora la loro somma è (m + n)/n di x, cioè
* x + y = s = ((m + n)/n)*x ≡ (x, y) = ((n/(m + n))*s, (m/(m + n))*s)
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Calcoli preliminari basati sul Ripasso # 1
Esercizio #1: (s, m, n) = (50, 9, 16) → (x, y) = (32, 18)
Esercizio #2: (s, m, n) = (96, 3, 5) → (x, y) = (60, 36)
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RIPASSO # 2: TUTTO SUL TRIANGOLO RETTANGOLO
Per la nomenclatura serve un disegno di riferimento.
Traccia una circonferenza di raggio r ed un suo diametro AB. Su una semicirconferenza traccia un punto C e, da C, abbassa la perpendicolare ad AB fino al piede nel punto H. Il triangolo ABC è rettangolo in C (inscritto nella semicirconferenza col diametro per ipotenusa), con altezza CH, cateti AC e BC, proiezioni dei cateti AH e HB.
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NOMI E RELAZIONI
* |AB| = c = s + t = 2*r; |AC| = b; |BC| = a;
* |AH| = t; |BH| = s
* |CH| = h = a*b/c
* perimetro p = a + b + c
* area S = a*b/2 = c*h/2
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TEOREMI
Pitagora: il quadrato dell'ipotenusa è la somma dei quadrati dei cateti ≡
≡ c^2 = a^2 + b^2; b^2 = t^2 + h^2; a^2 = s^2 + h^2.
Euclide I: il cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione e l'ipotenusa ≡
≡ a^2 = s*c; b^2 = t*c.
Euclide II: l'altezza è medio proporzionale tra le proiezioni ≡
≡ h^2 = s*t.
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Esercizio #1: Dati (c, s, t) = (50, 18, 32) trovare (p, S)
Esercizio #2: Dati (a + s, a, s) = (96, 60, 36) trovare (p, S)
Esercizio #3: Dati (s, t) = (24, 13.5 = 27/2) trovare (h, p)
CIOE'
Problema #1 e #3: date le proiezioni trovare i lati
Problema #2: dato un cateto e la sua proiezione trovare i lati
NB: l'altezza è un risultato intermedio e l'area è un sottoprodotto, una volta trovati i lati.
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RISOLUZIONE #1 (i valori finali te li calcoli da te, spero!)
* (a^2 = s*c) & (b^2 = t*c) & (c = s + t) & (h^2 = s*t) ≡
≡ (a = √(s*(s + t))) & (b = √(t*(s + t))) & (c = s + t) & (h = √(s*t))
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Esercizio #1
* (a = √(18*(18 + 32)) = 30) &
& (b = √(32*(18 + 32)) = 40) &
& (c = 18 + 32 = 50) &
& (h = √(18*32) = 24)
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Esercizio #3
* (a = √(24*(24 + 27/2)) = 30) &
& (b = √((27/2)*(24 + 27/2)) = 45/2 = 22.5) &
& (c = 24 + 27/2 = 75/2 = 37.5) &
& (h = √(24*27/2) = 18)
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RISOLUZIONE #2
Uffa, l'avrai visto bene come fare!