In un trapezio isoscele $A B C D$, la base minore $C D$ è congruente all'altezza e $A \widehat{B} C=B \widehat{A} D=45^{\circ}$. Sapendo che il perimetro del trapezio è $4(\sqrt{5}+\sqrt{10}) \mathrm{cm}$, determina le lunghezze delle diagonali.
$[5 \sqrt{2} \mathrm{~cm}]$
Mi potete fare
il n966
2
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Livello 0
Devi mettere le foto diritte! Viene il torcicollo!
b = h;
il triangolo rettangolo AHD ha i cateti uguali perché l'angolo acuto misura 45°.
HD = b; AH = b;
Base maggiore = AH + HK + KB = b + b + b = 3b;
Lato obliquo AD = radice(AH^2 + HD^2) = radice(b^2 + b^2) = b * radice(2);
Lato obliquo BC = Ad = b * radice(2).
Perimetro = 4 * [rad(5) + rad(10)].
b + 3b + b rad(2) + b rad(2) = 4 * [rad(5) + rad(10)];
4b + 2 rad(2) b = 4 * [rad(5) + rad(10)];
2b + rad(2) b = 2 [rad(5) + rad(10)] ;
b = 2 [rad(5) + rad(2 * 5)] /[2 + rad(2)]; moltiplichiamo sopra e sotto per (2 - rad(2);
b = 2 [rad(5) + rad(2 * 5)] * [2 - rad(2)] / [(2 + rad(2) ) * (2 - rad(2)] =
= 2 * rad(5) * [1 + rad(2)] * [2 - rad(2)] / [4 - 2], si semplifica il 2.
b = rad(5) * [2 - rad(2) + 2rad(2) - 2] = rad(5) * rad(2) = rad(10).
b = radice(10); (base minore).
Diagonale BD = ipotenusa del triangolo rettangolo HBD;
HB = b + b = 2 rad(10)
DH = b = rad(10);
DB = radicequadrata(HB^2 + DH^2) = radice(4 * 10 + 10) = rad(50) cm
DB = rad(25 * 2) = 5 * rad(2) cm.
Diagonale AC = DB.
Ciao @giuseppemilano
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Genius II
Ciao e benvenuto. Fotografia dritta!
Chiamo x la base minore. In base ai dati del problema deve quindi risultare:
DE= altezza trapezio isoscele= x
AE= proiezione lato obliquo su base maggiore= x
AD=lato obliquo= √2·x
Ne consegue: AB= base maggiore=3x ed inoltre:
perimetro=3·x + x + 2·√2·x = 4·(√5 + √10)
x·(2·√2 + 4) = 4·(√5 + √10) --------> x = √10 cm
Lunghezza diagonali con Teorema di Carnot:
AC=BD= √(√10^2 + √20^2 - 2·√10·√20·COS(135°)) = 5·√2 cm
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Genius II
@lucianop ...Per calcolare BD basta Pitagora 😉. Buon weekend
base minore b = x
altezza h = x
semi-differenza basi AH = BK = x (angoli in A ed in B di 45°)
base maggiore B (AB) = b+AH+AK = x+x+x = 3x
BC = AD = x√2
perimetro 2p = 4x+2x√2 = 4(√5+√10)
x = √10
BD = √x^2+(2x)^2 = √10+4*10 = √50 = 5√2
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Genius II
Lo potrei fare se solo riuscissi a leggerlo.
Come nuovo membro cominci maluccio, allegando una foto che non è in piano, non riproduce il solo elemento d'interesse, e soprattutto non è diritta.
Le mie vertebre cervicali hanno più di 82 anni e sono un po' rigide; il mio browser apre le immagini, ma non le ruota: perciò non riesco leggere il tuo allegato messo di traverso.
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Genius I
