Considerazione
Con
* ({k, x, y} ⊂ R) & (k != 0)
si ha
* γ(k) ≡ f(x, k) = y = x*(2*x + k)/(x^2 + k) = k*(x - 2)/(x^2 + k) + 2
* f'(x, k) = - k*(x^2 - 4*x - k)/(x^2 + k)^2
* f''(x, k) = 2*k*(x^3 - 6*x^2 - 3*k*x + 2*k)/(x^2 + k)^3
da cui si vede che γ(k) ha tangente orizzontale nelle ascisse radici reali di
* x^2 - 4*x - k = 0 ≡ (X1 = 2 - √(k + 4)) oppure (X2 = 2 + √(k + 4)), reali per k >= - 4
dove si ha
* f(X1, k) = 1 - √(k + 4)/2
* f(X2, k) = 1 + √(k + 4)/2
* f''(X1, k) = (4*√(k + 4) + (k + 8))/(2*k*√(k + 4))
* f''(X2, k) = (4*√(k + 4) - (k + 8))/(2*k*√(k + 4))
Perciò
P(2 - √(k + 4), 1 - √(k + 4)/2) è massimo relativo per - 4 < k < 0 e minimo relativo per k > 0
Q(2 + √(k + 4), 1 + √(k + 4)/2) è massimo relativo per k > 0 e minimo relativo per - 4 < k < 0
Consegna Uno
1a) y = f(x, k) ha, al variare di k != 0,
* dominio: l'intero asse reale x
* codominio: l'intero asse reale y
* insieme di definizione: x ∉ {- √(- k), √(- k)}
* insieme di definizione reale: x ∉ {- √(- k), √(- k)}
* insieme immagine: vedi P e Q
1b) verifica di appartenenza: (0 = k*(0 - 2)/(0^2 + k) + 2) & (k != 0) ≡ Vero
1c) verifica sulla pendenza: (m = - k*(0^2 - 4*0 - k)/(0^2 + k)^2 = 1) & (k != 0) ≡ Vero
* t ≡ y = x
Consegna Due
2a) γ(k) & t ≡ (y = k*(x - 2)/(x^2 + k) + 2) & (y = x) ≡
≡ (k*(x - 2)/(x^2 + k) + 2 - x = 0) & (y = x) ≡
≡ ((x - 2)*x^2/(x^2 + k) = 0) & (y = x) ≡
≡ ((x = 2) & (k + 4 != 0) oppure (x = 0) & (k != 0)) & (y = x)
da cui i "punti base" della famiglia
* B1(0, 0) & (k != 0)
* B2(2, 2) & (k != - 4)
2b) Per k = 4 si ha
* γ ≡ f(x) = y = 4*(x - 2)/(x^2 + 4) + 2
* f'(x) = - 4*(x^2 - 4*x - 4)/(x^2 + 4)^2
* f''(x) = 8*(x + 2)*(x^2 - 8*x + 4)/(x^2 + 4)^3
* x^2 - 4*x - 4 = 0 ≡ (X1 = 2*(1 - √2)) oppure (X2 = 2*(1 + √2))
* f(X1) = 1 - √2
* f(X2) = 1 + √2
* f''(X1) = (4 + 3*√2)/8 ~= + 1.03 > 0
* f''(X2) = (4 - 3*√2)/8 ~= - 0.03 < 0
P(2*(1 - √2), 1 - √2) è minimo relativo
Q(2*(1 + √2), 1 + √2) è massimo relativo
Consegna Tre
* f(- 2) = f(0) = 0
* lim_(x → ∞) f(x) = 2 (asintoto unico orizzontale; né verticali né obliqui)
* P(2*(1 - √2), 1 - √2) è minimo relativo
* Q(2*(1 + √2), 1 + √2) è massimo relativo
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%5E2-2*y-1%3D0%2Cy-2%3D4*%28x-2%29%2F%28x%5E2--4%29%5D
Consegna Quattro
4a) S(R1) = ∫ [x = 0, 2*(1 + √2)] (2 - (4*(x - 2)/(x^2 + 4) + 2))*dx = 3*π/2 - 2*ln(2*(2 + √2)) ~= 0.87
4b) S(R2) = ∫ [x = - ∞, ∞] (4*(x - 2)/(x^2 + 4) + 2)*dx → ∞
4c) "Qual è la maggiore?" indovina un po'!
