[Risolto] E' dato il tetraedro di vertici ...

Il tetraedro inscritto alla sfera ha vertici:

A [1, -2, 4] ; B [1, -6, 0]; C[-3, -2, 0] ; D[-1, -2, - 2·√3]

Il passaggio per questi 4 punti permette di determinare la sfera:

x^2 + y^2 + z^2 + a·x + b·y + c·z + d = 0

{ 1^2 + (-2)^2 + 4^2 + a·1 + b·(-2) + c·4 + d = 0

{1^2 + (-6)^2 + 0^2 + a·1 + b·(-6) + c·0 + d = 0

{(-3)^2 + (-2)^2 + 0^2 + a·(-3) + b·(-2) + c·0 + d = 0

{(-1)^2 + (-2)^2 + (- 2·√3)^2 + a·(-1) + b·(-2) + c·(- 2·√3) + d = 0

Quindi risolviamo il sistema:

{a - 2·b + 4·c + d = -21

{a - 6·b + d = -37

{3·a + 2·b - d = 13

{a + 2·b + 2·√3·c - d = 17

ed otteniamo: [a = -2 ∧ b = 4 ∧ c = 0 ∧ d = -11]

Quindi la sfera cercata:  x^2 + y^2 + z^2 - 2·x + 4·y - 11 = 0

(x^2 - 2·x + 1) + (y^2 + 4·y + 4) + z^2 - 11 + (-1 - 4) = 0

(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + z^2 - 11 + (-1 - 4) = 0

(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 16

Da cui si riconosce il centro: [1, -2, 0]

ed il raggio: r = 4

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Determino il piano : a·x + b·y + c·z + d = 0

passante per:

[1, -2, 4] ; [1, -6, 0] ; [-3, -2, 0]

{a·1 + b·(-2) + c·4 + d = 0

{a·1 + b·(-6) + c·0 + d = 0

{a·(-3) + b·(-2) + c·0 + d = 0

Quindi risolvo:

{a - 2·b + 4·c + d = 0

{a - 6·b + d = 0

{3·a + 2·b - d = 0

Risolvo ed ottengo:  [a = d/5 ∧ b = d/5 ∧ c = - d/5]

d/5·x + d/5·y + (- d/5)·z + d = 0

(d/5·x + d/5·y + (- d/5)·z + d = 0)·5/d

x + y - z + 5 = 0

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Determino la distanza d fra il centro della sfera ed il piano:

[1, -2, 0]   e  x + y - z + 5 = 0

d = ABS(1 + -2 - 0 + 5)/√(1^2 + 1^2 + (-1)^2)

d = 4·√3/3 = 2.309401076 < 4

Quindi il piano è secante la sfera.

I quadrati delle distanze del generico K(x, y, z) dai punti
* A(1, - 2, 4), B(1, - 6, 0), C(- 3, - 2, 0), D(- 1, - 2, - 2*√3)
sono
* |KA|^2 = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 4)^2
* |KB|^2 = (x - 1)^2 + (y + 6)^2 + z^2
* |KC|^2 = (x + 3)^2 + (y + 2)^2 + z^2
* |KD|^2 = (x + 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2*√3)^2
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La soluzione reale del sistema
* |KA|^2 = |KB|^2 = |KC|^2 = |KD|^2 = R^2
se esiste con R^2 > 0, consente di scrivere la sfera σ di centro K e raggio R.
* σ ≡ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 16
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La soluzione reale del sistema dei vincoli d'appartenenza dei punti
* A(1, - 2, 4), B(1, - 6, 0), C(- 3, - 2, 0)
al generico piano, se esiste, consente di scrivere il piano α per ABC.
* α ≡ z = x + y + 5
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La circonferenza Γ intersezione fra piano e sfera è definita dal sistema
* Γ ≡ α & σ ≡ (z = x + y + 5) & ((x - 1)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 16)
che ha risolvente
* (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (x + y + 5)^2 - 16 = 0 ≡
≡ x^2 + x*y + y^2 + 4*x + 7*y + 7 = 0
che, rappresentando la proiezione di Γ sul piano Oxy come un'ellisse non degenere {semiassi (a > b) = (4*√(2/3), 4*√2/3); area 32*π/(3*√3) > 0}, indica che le due superficie sono secanti.