AIUTO LIMITE

$ \displaystyle\lim_{x \to 0 } \frac{x^3+\sqrt{1-cosx}}{x^2ln|x|+3x} = $

Liberiamoci degli infinitesimi di ordine superiore, servono solo a confondere le idee

$ \displaystyle\lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1-cosx}}{3x} $

Questo limite NON esiste, i limiti laterali sono diversi tra di loro. Occorre ricordare che

$ \sqrt{x^2} = |x|$

a.   Per x positive.

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+ } \frac{1}{3} \frac{\sqrt{1-cosx}}{x} = $

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+ } \frac{1}{3} \sqrt{\frac{1-cosx}{x^2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}}$

b.  Per x negative

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{3} \frac{\sqrt{1-cosx}}{x} = $

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+ } \frac{1}{3} - \sqrt{\frac{1-cosx}{x^2}} = -\frac{1}{3\sqrt{2}}$

Limiti laterali diversi, il limite non esiste.