[Risolto] Aiuto integrale difficile

Problema:

Data la funzione $f(x)=\frac{1}{x²\sqrt{x²-1}}$, determina la sua primitiva F(x) che ammette come asintoto l'asse x per $x \rightarrow -∞$ .

Soluzione:

Si trovano le primitive F(x):

$F(x)=\int_{}^{}\frac{dx}{x²\sqrt{x²-1}}$

Si utilizza la sostituzione $x=\secθ$ e $dx=\sec θ tgθdθ$

$F(θ)=\int_{}^{}\frac{\secθ tgθ dθ}{\sec² θ \sqrt{\sec² θ-1}}=\int_{}^{}\frac{\secθ tgθdθ}{\sec² θ\sqrt{tg²θ}}=\int_{}^{}\frac{\secθ tgθdθ}{\sec² θtgθ}=\int_{}^{}\frac{dθ}{\secθ}=\int_{}^{}\cosθdθ=\sinθ+c$

Sapendo che secθ=x è rappresentato da un triangolo rettangolo con ipotenusa pari ad x e base pari ad 1 è possibile dedurre che l'altezza del triangolo in questione abbia valore $\sqrt{x²-1}$ per il teorema di pitagora.

Sapendo che $\sinθ=\frac{altezza}{ipotenusa}$ si ha che $F(x)=\frac{\sqrt{x²-1}}{x}+c$

L'asse x presenta equazione $y=0$ e dunque per essere asintoto di F(x) è necessario che il suo limite per $x \rightarrow  -∞$ sia pari a 0:

$\lim_{x \to -∞} F(x)=0$

$\lim_{x \to -∞}\frac{\sqrt{x²-1}}{x}+c=0 \rightarrow -1+c=0 \rightarrow c=1$

La soluzione risulta dunque essere $F(x)=\frac{\sqrt{x²-1}}{x}+1$

Trovo brillante il ragionamento esposto nella risposta già data.

Tuttavia, se hai un pò di tempo da perderci o non ricordi le sostituzioni trigonometriche,

puoi sempre porre rad(x^2 - 1) = t - x. Sebbene sia un pò più lungo, ti riporti ad una funzione razionale.