Ciao.
La funzione è:
y = a·SIN(x)^2 + b·COS(x) + c
Le due derivate sono:
y' =dy/dx=2·a·SIN(x)·COS(x) - b·SIN(x)
y''=4·a·COS(x)^2 - b·COS(x) - 2·a
Per x = 2/3·pi si deve avere f''(2/3·pi)=0
4·a·COS(2/3·pi)^2 - b·COS(2/3·pi) - 2·a = 0
b/2 - a = 0
Per x = pi/2 la derivata prima è pari al coefficiente angolare m della retta tangente alla funzione, quindi alla sua derivata:
2·a·SIN(pi/2)·COS(pi/2) - b·SIN(pi/2)
m = -b
La funzione passa per x= pi/2
y = a·SIN(pi/2)^2 + b·COS(pi/2) + c
y = a + c
Quindi la funzione passa per: [pi/2, a + c]
Calcoliamo quindi la retta tangente:
y - (a + c) = - b·(x - pi/2)
y = (2·a + pi·b + 2·c)/2 - b·x
Quindi confrontiamo con la retta tangente data nel testo:
y = - 2·x + pi + 1
Abbiamo quindi il sistema:
{(2·a + pi·b + 2·c)/2 = pi + 1
{-b = -2
{b/2 - a = 0
risolviamo ed otteniamo: [a = 1 ∧ b = 2 ∧ c = 0]
Quindi la funzione: y = 2·COS(x) + SIN(x)^2
Per le altre risposte ti dò il grafico: