[Risolto] Aiuto in geometria

$\large{Numero}$ $\large{11}$ 

Prima di procedere con la dimostrazione osserviamo alcune nozioni molto importanti del parallelogramma. Come prima cosa che possiamo intuire è che il parallelogramma è $equivalente$ ad un rettangolo, quindi la superficie è la stessa. Per renderci conto di questo fatto guardiamo la seguente figura 

Dunque ogni proprietà del parallelogramma si ripercuote di conseguenza in un rettangolo. Come seconda cosa, se tracciamo la diagonale osserviamo che il rettangolo viene suddiviso in $2$ parti uguali.

Più precisamente, viene suddiviso in due triangoli rettangoli congruenti aventi la stessa area. Fatte queste premesse possiamo procedere alla dimostrazione. Cominciamo a scrivere l'enunciato. 

$Enunciato$ 

$Sia$ $ABCD$ $un$ $parallelogramma$ $e$ $EFGH$ $un$ $quadrilatero$ $inscritto$ $nel$ $parallelogramma$. $Allora$ $le$ $due$ $figure$ $sono$ $equivalenti$ $se$ $e$ $solo$ $se$ $il$ $quadrilatero$ $iscritto$ $nel$ $parallelogramma$ $risulta$ $essere$ $la$ $metà$ $dello$ $stesso$.

$Dimostrazione$. La prima implicazione è ovvia quindi passiamo subito alla seconda. Per ipotesi Il quadrilatero inscritto è uguale alla metà del parallelogramma. Ma come facciamo a dire ciò ? Osserviamo solo per un attimo la figura. Cosa possiamo notare? Sicuramente, come ci suggerisce l'immagine, i lati $EG$ e $AH$ sono paralleli rispettivamente alla base e all'altezza del parallelogramma e quindi anche del rettangolo. Da questi dati cosa possiamo dire? Cerchiamo di calcolare l'area del nostro quadrilatero utilizzando $EG$ e $AH$. Ma come abbiamo fatto vedere dalle figure in precedenza, ogni rettangolo suddiviso in due parti genera due triangoli rettangoli congruenti aventi la stessa area. Ed è proprio ciò che accade nella nostra figura, infatti essa risulta suddivisa dai due lati paralleli, in $4$ rettangolini. Dunque avremo.

$Area$ $Quadrilatero$ $=$ $\displaystyle\frac{1}{2}Area_{1}$ $+$ $\displaystyle\frac{1}{2}Area_{2}$ $+$ $\displaystyle\frac{1}{2}Area_{3}$ $+$ $\displaystyle\frac{1}{2}Area_{4}$.

$Area$ $Quadrilatero$ $=$ $\displaystyle\frac{1}{2}$$\bigl($  $A_{1}$ $+$ $A_{2}$ $+$ $A_{3}$ $+$ $A_{4}$ $\bigr)$. Ma 

$A_{1}$ $+$ $A_{2}$ $+$ $A_{3}$ $+$ $A_{4}$ $=$ $Area$ $Rettangolo$.

$Area$ $Quadrilatero$ $=$ $\displaystyle\frac{1}{2}$$Area$ $Rettangolo$

Siamo arrivati così a soddisfare le nostre ipotesi e di conseguenza, essendo uguali queste aree necessariamente sono $equivalenti$. Ciò conclude la dimostrazione.

$\large{Numero}$ $\large{15}$

Per dimostrare quest'altra proprietà possiamo procedere in vari modi. Cominciamo a scrivere l'enunciato. 

$Enunciato$

$Sia$ $ABC$ $un$ $triangolo$ $equilatero$. $Allora$ $congiungendo$ $tutti$ $i$ $punti$ $medi$ $del$ $triangolo$ $si$ $ottengono$ $4$ $triangoli$ $tutti$ $equivalenti$ $tra$ $di$ $loro$.

$Dimostrazione$. Possiamo ragionare per assurdo e supporre che esista almeno un triangolo ottenuto congiungendo tutti i punti medi del triangolo equilatero, che non sia equivalente a tutti gli altri. Dunque per ipotesi non essendo equivalente implica che la sua superficie risulta essere diversa da tutte le altre. Ricordando come si calcola l'area di un triangolo procediamo con i calcoli.

$A_{1}$ $\neq$ $A_{i}$ $\bigl($ $\forall$$i$ $\in$ $\bigl\{$ $2$, $3$, $4$ $\bigr\}$ $\bigr)$. Ma essendo diversa, si calcolerà in modo diverso quindi si avrà:

$A_{1}$ $=$  $\displaystyle\frac{ b_{1} \cdot h_{1} }{ 2 }$ $\neq$ $A_{i}$ $=$ $\displaystyle\frac{  b_{i} \cdot h_{i} }{ 2 }$ $\iff$  $b_{1}$ $\cdot$ $h_{1}$ $\neq$ $b_{i}$ $\cdot$ $h_{i}$ $\bigl($ $\forall$$i$ $\in$ $\bigl\{$ $2$, $3$, $4$ $\bigr\}$ $\bigr)$.

Ma ciò significa che $\bigl($ $b_{1}$ $\neq$ $b_{i}$ $\bigr)$ $\lor$ $\bigl($ $h_{1}$ $\neq$ $h_{i}$ $\bigr)$.

Se supponiamo che $h_{1}$ $\neq$ $h_{i}$ segue che le loro lunghezze sono diverse. Ma come sappiamo, modificando una lunghezza si modifica tutta la struttura del triangolo. Quindi di conseguenza il triangolo non risulterà essere più equilatero contro le nostre ipotesi. Non discendendo logicamente dalla precedente ipotesi necessariamente ogni triangolino generato è equivalente.

Ciao, 

14)

Siano  $A,B,C,D$ i vertici del quadrato e sia $l$ il suo lato.

Consideriamo i due triangoli rettangoli $ABC$ e $ADC$ essi sono uguali è hanno aria:

$A_{triangolo}= \frac{l×l}{2}=\frac{l^2}{2}$

Consideriamo ora i punti medi $H$ ed $M$ rispettivamente del lato $AB$ e del lato $CD$ possiamo individuare i due rettangoli:

$AHMD$ e $HBCM$ essi saranno uguali con base $\frac{l}{2}$ e altezza $l$ e la loro aria è:

$A_{rettangolo}=\frac{l}{2}×l= \frac{l^2}{2}$

 Quindi $A_{rettangolo}=A_{triangolo}$ c.v.d

11)

Consideriamo il punto $P$ intersezione dei segmenti $EG$ e $HF$  dato che $EG//AD$ e $FH//AB$ 

Allora i quadrilateri $AHPE$, $BEPF$, $CGPF$ e $DGPH$ sono tutti dei parallelogrammai.

E l'area del parralelipedo $ABCD$ è datao dalla somma delle aree di questi parallelepipedi.

L'area del rombo è invece data dalla somma del area triangoli:

$PEH$ , $PHG$, $PGF$ e $PFE$

ma dato che la diagonale di un di un parallelepipedo lo di divide in due triangoli equivalenti:

$A_{PEH}=\frac{A_{AHPE}}{2}$

$A_{PHG}=\frac{A_{DGPH}}{2}$

$A_{PGF}=\frac{A_{CGPF}}{2}$

$A_{PFE}=\frac{A_{BEPF}}{2}$

Per cui:

$A_{rombo}=\frac{A_{AHPE}}{2}+\frac{A_{DGPH}}{2}+\frac{A_{CGPF}}{2}+\frac{A_{BEPF}}{2}=\frac{A_{AHPE}+A_{DGPH}+A_{CGPF}+A_{BEPF}}{2}=\frac{A_{parallelepipedo}}{2}$

c.v.d