110
f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c
f'(x) = 3x^2 + 2ax + b
f'(-1) = 0
3 - 2a + b = 0
f'(1) = 0
3 + 2a + b = 0
sottraendo 4a = 0
sommando 6 + 2b = 0
a = 0 e b = -3
Quindi f(x) = x^3 - 3x + c
Quando scriviamo
S_[-1,1] (x^3 - 3x + c) dx = 4
la parte dispari x^3 - 3x
ha integrale nullo su intervallo simmetrico rispetto a 0
per cui risulta 2 S_[0,1] c dx = 4
2c (1 -0) = 4
c = 4/2 = 2
f(x) = x^3 - 3x + 2
Per quanto concerne il limite
puoi calcolare direttamente
S_[0,x] (t^3 - 3t + 2) dt = x^4/4 + P3(x)
per cui si ha lim_x->+oo (x^4/4 + P3(x))/x^4 = 1/4 + 0 = 1
113
y = S_[1,x] ln(t) dt
y = 2x + 1
y = S_[1,x] 1*ln(t) dt = [t ln t - S t*1/t dt ]_[1,x] =
= [ t ln t - t + C ]_[1,x] =
= x ln x - x + 1
La risolvente é
x ln x - x + 1 = 2x + 1
x ln x - 3x = 0
con x > 0 (CE del ln(.))
x( ln x - 3 ) = 0
x = 0 (no) V ln x = 3 => x = e^3 (accettabile)
117
a) per dimostrare che le tangenti sono parallele
bisogna mettere a paragone le derivate e mostrare che
sono uguali nell'intervallo indicato. Risulta infatti
f'(x) = S_[a, s(x)] w(t) dt = d/dx [W[s(x)] - W(a)] =
= w(s(x))*s'(x)
per cui
f'(x) = t/(t+1) |_(t = x^2 - 1)*2x =
= (x^2 - 1)/x^2 * 2x = 2(x^2 - 1)/x
inoltre
g'(x) = 2x - 2*1/x = 2 (x^2 - 1)/x
e quindi le tangenti sono effettivamente parallele
b)
Per controllare se f(x) = g(x)
potremmo operare con metodo diretto
oppure testare l'uguaglianza in un punto
Si ha f(x) = S_[1, x^2 - 1] (1 - 1/(t+1)) dt =
= [ t - ln |1 + t| + C]_[1,x^2-1] =
= [x^2 - 1 - ln |x^2|] - [ 1 - ln 2 ] =
= x^2 - 2 ln x - 2 + ln 2
e non é uguale a g(x)
