Aiuto geometria applicazioni teorema pitagora

N°50

Ho fatto questo disegno perché tu possa seguire meglio il ragionamento, gli elementi congruenti sono segnati con lo stesso colore. Nota che $\overline{AC} \cong \overline{BC}$ perché il triangolo è isocele, mentre $\overline{AD} \cong \overline{DB}$ perché l'altezza relativa alla base di un triangolo isoscele è anche bisettrice, mediana e asse, per cui $\alpha \cong \alpha '$, dato che questo è un triangolo isoscele allora gli angoli alla base sono congruenti $\zeta \cong \delta$. Nel disegno $C'$ è il vertice di un triangolo congruente per il terzo criterio$^{[1]}$ che ho disegnato per farti notare che $BCC' \cong ACC'$, perché sono triangoli equiangoli (e quindi equilateri) con la stessa base $\overline{CC'} \cong \overline{CC'}$. Sappiamo quindi che l'altezza del triangolo di partenza $\overline{CD}$ è la metà del lato dei triangoli equilateri, e stavolta i segmenti $\overline{AD} \cong \overline{DB}$ sono le altezza di questi triangoli. Cerchiamo di esprimere i lati in blu e in rosso tratteggiati in funzione di $l$, sapendo che l'altezza di un triangolo equilatero è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ volte il lato, scriviamo che $\overline{CD} = \frac{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2l}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}l}{3}$, dato che i triangoli $ACC' \cong BCC'$ sono congruenti $\overline{CD} \cong \overline{AC} \cong \overline{BC}$, quindi $P= 2l + 2 \cdot \frac{2l\sqrt{3}l}{3} = 2l + \frac{4\sqrt{3}l}{3}$, mentre l'area è conseguentemente $A= \frac{1}{2} \overline{AB} \cdot \frac{1}{2} \overline{CD} = \frac{1}{2} \cdot 2l \cdot \frac{2\sqrt{3}l}{3} \cdot \frac{1}{2} = l \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} l = \frac{l^2}{3} \sqrt{3}$.

N°51

Anche qui gli elementi congruenti sono evidenziati di colori simili.

Nota che $\overline{OA} \cong \overline{OB} \cong \overline{OC} \cong \overline{OD}$ perché sono tutti raggi della stessa circonferenza, inoltre il trapezio ha gli angoli alla base uguali, ciò significa che è un trapezio isoscele, in particolare che $\overline{AD} \cong \overline{BC}$. Essendo $AOD$ un triangolo isoscele, di base $\overline{AD}$ possiamo dire che gli angoli alla base sono congruenti, quindi $\beta \cong \widehat{ABO}$, allora il triangolo è un triangolo equiangolo, ed è equilatero, è inoltre congruente a $BCO$ per il terzo criterio di congruenza i triangoli $ABO \cong BCO$ sono congruenti. Adesso nota che il triangolo $DCO$ è congruente agli altri triangoli perché $\overline{DO} \cong \overline{CO}$ perché sono raggi della stessa circonferenza, quindi il triangolo è isoscele, tuttavia l'angolo in $\widehat{O}$ è di $60^{\circ}$ perché gli angoli tra cui è compreso sono entrambi di $60^{\circ}$, essendo supplementari allora $180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}$. Vale la catena di uguaglianze $\overline{AD} \cong \overline{DC} \cong \overline{CB} \cong \overline{BO} \cong \overline{OA} = r$, quindi il perimetro risulta $P=5r$.

Per calcolare l'area del trapezio basta notare che esso sia formato da 3 triangoli equilateri congruenti, quindi basta moltiplicare l'area di uno di questi per 3, sapendo che l'area di un triangolo equilatero è $A= l^2 \frac{\sqrt{3}}{4}$, allora, nel nostro caso, $A= 3 \cdot r^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}r}{4}$.

perimetro 2p = 3a√3 /3+a√2+3a = 3a(1+√3 /3)+a√2 

area a = (3a+a√3 /3)*a/2 = 3a^2/2+a^2√3 /6 = a^2/2(3+√3 /3)