[Risolto] Aiuto fisica molle e piano inclinato

1^ parte dinamica

m·g·h + 1/2·m·v^2 = 1/2·k·x^2

In assenza di attriti: esprime l'energia meccanica della massa metallica alla sommità del piano inclinato che deve essere pari all'energia immagazzinata nella molla e liberata.

Da essa si ricava v alla sommità del piano:

v = √((k·x^2 - 2·g·h·m)/m)

In essa:

k = 400 N/m

g = 9.806 m/s^2

x = 0.06 m compressione della molla

h = 2·SIN(30°) = 1 m altezza piano inclinato

[s = 2 m (lunghezza piano inclinato)]

m = 0.05 kg

Quindi:

v = √((400·0.06^2 - 2·9.806·1·0.05)/0.05)--> v = 3.0312 m/s

Il lavoro svolto dalla forza di gravità è in modulo pari all'energia potenziale acquisita in sommità del piano: il segno - significa che è negativo:

L = - m·g·h = - 0.05·9.806·1 == -0.4903 J

2^ parte cinematica

[η, μ] sono le componenti della velocità v

η = v·COS(θ) = 3.0312·COS(30°) = 2.6251 m/s

μ = v·SIN(θ) = 3.0312·SIN(30°) = 1.5156 m/s

Equazioni:

{x = η·t

{y = h + μ·t - 1/2·g·t^2

Inserendo i dati:

{x = 2.6251·t

{y = 1 + 1.5156·t - 1/2·9.806·t^2

posto y=0 si determina il tempo di caduta t:

- 4.903·t^2 + 1.5156·t + 1 = 0

Risolvo ed ottengo:

t = 0.6319 s ∨ t = -0.3228 s

Quindi soluzione in grassetto

x = 2.6251·t---> x = 2.6251·0.6319 = 1.659 m

Un blocco di metallo di massa m = 50 g viene sparato su per un piano inclinato di 30° rispetto all'orizzontale da una molla di costante elastica k = 400 N/m, compressa di x = 6 cm. Il piano inclinato è lungo L = 2 m e presenta attrito trascurabile.

Si calcoli :

a) la velocità V con cui il blocco raggiunge la sommità del piano

kx^2 = mV^2+2*m*g*L*sin 30°

V = √400*6^2*10^-4-0,05*2*9,806*2*0,5)/0,050 = 3,0312 m/s 

b) il lavoro Lg compiuto dalla forza di gravità durante la salita del blocco

Lg = 0,05*9,806*2*0,5 = 0,4903 J

c) la distanza d dalla base del piano a cui va a cadere il blocco.

0-1 = 3,0312*t-4,903t^2

-1-3,0312t+4,903t^2 = 0 

t = (3,0312±√3,0312^2+4,903*4)/9,806 = 0,856360 s 

d = V*cos 30*t = 3,0312*0,866*0,85636 = 2,2478 m