Aiuto con equazione goniometrica

f(x) = (COS(x) + COT(x))/(SIN(x + pi/6) + COS(x + pi/3))

SIN(x + pi/6) = SIN(x)·COS(pi/6) + SIN(pi/6)·COS(x) =

=COS(x)/2 + √3·SIN(x)/2

COS(x + pi/3) = COS(x)·COS(pi/3) - SIN(x)·SIN(pi/3) =

=COS(x)/2 - √3·SIN(x)/2

Quindi a denominatore hai:

COS(x)/2 + √3·SIN(x)/2 + (COS(x)/2 - √3·SIN(x)/2) = COS(x)

La funzione si semplifica in:

f(x)=(COS(x) + COT(x))/COS(x)

C.E.:

COS(x) ≠ 0---> x ≠ pi/2 + k·pi

posta questa condizione semplifichiamo ulteriormente:

f(x) = 1/SIN(x) + 1

SIN(x) ≠ 0--> x ≠ k·pi

quindi: x ≠ pi/2 + k·pi ∧ x ≠ k·pi

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f(x)=0

COS(x) + COT(x) = 0

COS(x)·(SIN(x) + 1)/SIN(x) = 0

COS(x)·(SIN(x) + 1) = 0

x = pi/2 + k·pi  NON accettabile

SIN(x) + 1 = 0

x = - pi/2 + 2·k·pi  NON accettabile

Quindi impossibile

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Segno f(x)

Si considera solo    f>0 ed f<0

(SIN(x) + 1)/SIN(x)

SIN(x) + 1 > 0 sempre soddisfatta quindi il segno è dettato dal denominatore

SIN(x) > 0

2·k·pi < x < pi/2 + 2·k·pi ∨ pi/2 + 2·k·pi < x < pi + 2·k·pi

f<0

(analogamente per valori del 3° e 4° quadrante)

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(COS(x) + COT(x))/COS(x) = 3

poniamo:

Χ = COS(x)

Υ = SIN(x)

Risolviamo:

{Χ^2 + Υ^2 = 1

{(Χ + Χ/Υ)/Χ = 3

ottenendo:

[Υ = 1/2 ∧ Χ = √3/2, Υ = 1/2 ∧ Χ = - √3/2]

{SIN(x) = 1/2

{COS(x) = √3/2

[x = pi/6 + 2·k·pi]

{SIN(x) = 1/2

{COS(x) = - √3/2

[x = 5·pi/6 + 2·k·pi]