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Fai riferimento alla figura di sopra

Formula di Erone applicata al triangolo ABC

a = 2·√2

b = √(2^2 + 4^2)---> b = 2·√5

c = ?

p = (2·√2 + 2·√5 + c)/2

p = c/2 + √5 + √2

p - a = c/2 + √5 + √2 - 2·√2

p - a = c/2 + √5 - √2

p - b = c/2 + √5 + √2 - 2·√5

p - b = c/2 - √5 + √2

p - c = c/2 + √5 + √2 - c

p - c = - c/2 + √5 + √2

Deve essere:

(c/2 + √5 + √2)·(c/2 + √5 - √2)·(c/2 - √5 + √2)·(- c/2 + √5 + √2) = 6^2

Sviluppando si ottiene:

- c^4/16 + 7·c^2/2 - 45 = 0

c^4 - 56·c^2 + 720 = 0

c^2 = t

t^2 - 56·t + 720 = 0

risolvi: t = 36 ∨ t = 20

c^2 = 36---> c = 6

c^2 = 20---> c = 2·√5

(le negative le scarti)

Se c = 6

{(x - 4)^2 + y^2 = 6^2

{x^2 + (y - 2)^2 = (2·√2)^2

Risolvi ed ottieni: x = 2/5 ∧ y = 24/5

B1 [2/5,24/5]

(una soluzione la scarti)

Se c = 2·√5

{(x - 4)^2 + y^2 = (2·√5)^2

{x^2 + (y - 2)^2 = (2·√2)^2

risolvi: x = 2 ∧ y = 4

B2 [2, 4]

(una soluzione la scarti)

Area quadrilatero = 10;

Area triangolo OAC = 4 * 2 / 2 = 4;

Area triangolo ABC = 10 - 4 = 6;

lati a; b; c; del triangolo ABC:

BC = 2 radice(2);  (a)

AC =radice quadrata(2^2 + 4^2) = radice(20 )= 2 radice(5) ; (b)

Lato AB incognito; AB = x;  (c)

Formula di Erone per l'area di ABC;

p è il semiperimetro; a, b; c; sono i tre lati del triangolo:

A = radice[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)];

A^2 = p * (p - a) * (p - b) * (p - c);

p = [2 radice(2) + 2 radice(5) + x] / 2 = radice(2) + radice(5) + x/2;

p - a = radice(2) + radice(5) + x/2 - 2 radice(2)= radice(5) + x/2 - radice(2);

p - b = radice(2) + radice(5) + x/2 - 2 radice(5) = radice(2) - radice(5) + x/2;

p - c =  radice(2) + radice(5) + x/2 - x =  radice(2) + radice(5) - x/2 ; 

6^2 = [radice(2) + radice(5) + x/2] * [radice(5) + x/2 - radice(2)] * [radice(2) - radice(5) + x/2] * [radice(2) + radice(5) - x/2].

Mi sembra un po' complicato!