Dimostriamo che PB è tangente in B alla circonferenza:
Innanzitutto immagina un cerchio. All'interno di questo cerchio c'è un triangolo chiamato ABC. Questo triangolo ha alcune caratteristiche particolari:
* Lato AB: È lungo esattamente quanto il raggio del cerchio.
* Lato AC: È lungo il doppio del raggio, quindi è lungo quanto il diametro del cerchio (il diametro è una linea che passa per il centro del cerchio e ne tocca i due punti più lontani).
* Punto P: Questo punto si trova sulla linea che continua il lato AC, ma all'esterno del cerchio.
Osserviamo il triangolo AOB: Essendo AO e BO raggi della circonferenza, il triangolo AOB è isoscele. Di conseguenza, gli angoli ∠OAB e ∠OBA sono congruenti.
Consideriamo il triangolo ABP: Per costruzione, AB = AP, quindi anche questo triangolo è isoscele. Gli angoli ∠ABP e ∠APB sono congruenti.
Sommiamo gli angoli: ∠OAB + ∠OBA + ∠ABP + ∠APB = 180° (somma degli angoli interni di un quadrilatero).
Sostituendo gli angoli congruenti: 2∠OBA + 2∠ABP = 180°, da cui ∠OBA + ∠ABP = 90°
L'angolo ∠OBP è un angolo retto. Poiché OB è un raggio e PB forma un angolo retto con esso nel punto di tangenza B, possiamo affermare che PB è tangente alla circonferenza in B.
Per il punto 2 possiamo notare che la bisettrice di ∠BAC è parallela a PB:
Consideriamo il triangolo ABC: Essendo AC il diametro, l'angolo ∠ABC è un angolo retto (teorema dell'angolo inscritto in una semicirconferenza).
La bisettrice di ∠BAC divide l'angolo in due parti uguali. Gli angoli ∠OBA e metà di ∠BAC sono alterni interni rispetto alle rette PB e la bisettrice di ∠BAC.
Abbiamo dimostrato che ∠OBA è complementare a ∠ABP.
Poiché PB è tangente, ∠ABP è complementare a metà di ∠BAC.Dunque, gli angoli alterni interni sono congruenti.
Per il teorema delle rette tagliate da una trasversale, se gli angoli alterni interni sono congruenti, allora le rette sono parallele. Quindi, la bisettrice di ∠BAC è parallela a PB.
Spero che ti sia chiaro?. Scusami se mi sono dilungato troppo ahah 🤣 😅