CONSIGLIO DI MASSIMA
Il tentativo di "applicare la formula" porta quasi sempre a impaniarsi.
Molto più sicuro, anche se più lento, il metodo di prendere il testo alla lettera senza voler interpretare le intenzioni dell'autore ed eseguire passo per passo solo ed esclusivamente ciò che è detto esplicitamente.
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Con pendenze differenti le generatrici danno un fascio proprio centrato in C
* (3*x + y - 2 = 0) & (x + 2*y + 1 = 0) ≡ C(1, - 1)
Per il punto C(1, - 1) passano tutte e sole le rette:
* x = 1, parallela all'asse y;
* y = k*(x - 1) - 1, per ogni pendenza k reale.
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"Scrivi l'equazione del fascio ..." non prescrive LA FORMA in cui scriverla.
Visti i quesiti successivi la forma più conveniente è "per distinzione di casi"
* r(k) ≡ (x = 1) oppure (y = k*(x - 1) - 1)
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Quesito A: il simmetrico C' di C(1, - 1) rispetto ad S(- 2, 3)
Il segmento CS, con |CS| = 5, sta sulla retta s ≡ y = (1 - 4*x)/3 di pendenza - 4/3.
La circonferenza Γ, centrata in S e di raggio |CS|,
* Γ ≡ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25 = |CS|^2
interseca la secante s in C e in C'
* s & Γ ≡ (y = (1 - 4*x)/3) & ((x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25) ≡ C oppure C'(- 5, 7).
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Quesito B: La retta r del fascio per A(2, - 2)
Se A è su r le sue coordinate ne rispettano l'equazione
* r(k) ≡ (2 = 1) oppure (- 2 = k*(2 - 1) - 1) ≡
≡ (Falso) oppure (k = - 1) ≡
≡ k = - 1
da cui la diagonale dei quadranti pari
* r(- 1) ≡ y = - x
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Quesito C: La retta r del fascio perpendicolare alla retta
* x - 4*y - 1 = 0 ≡ y = (x - 1)/4
di pendenza m = 1/4. Il valore di k che dà l'ortogonalità è l'antinverso
* r(- 4) ≡ y = 3 - 4*x
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Quesito D: Le rette del fascio distanti d = 1/√5 dall'origine.
Tutti e soli i punti distanti d dall'origine fanno la circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 = 1/5 = d^2
tutte le cui rangenti distano d dall'origine.
Il sistema
* r(k) & Γ ≡ (y = k*(x - 1) - 1) & (x^2 + y^2 = 1/5)
ha risolvente
* x^2 + (k*(x - 1) - 1)^2 - 1/5 = 0
il cui discriminante
* Δ(k) = - (16/5)*(k + 2)*(k + 1/2)
deve, per la tangenza, annullarsi. Quindi le richieste tangenti sono
* r(- 2) ≡ y = 1 - 2*x
* r(- 1/2) ≡ y = - (x + 1)/2
