Aiuto

Question

La cucina dell'albergo Il bollitore per la pasta della cucina dell'Albergo Miramare ha una vasca a forma di prisma. L'altezza del prisma è $50 cm e la sua base quadrata ha area $1 m^2$. L'addetto alla cottura della pasta versa $5 kg di sale grosso quando l'altezza dell'acqua contenuta nella vasca è $10 cm e dopo apre il rubinetto. Il livello dell' acqua sale di $1 cm / min.a. Trova l'espressione della funzione che rappresenta la concentrazione c(t)$ del sale nell'acqua della vasca, espressa in g / L, in funzione del tempo, espresso in minuti, a partire dall'istante di apertura del rubinetto.b. Determina il tempo necessario affinché la concentrazione salina dimezzi rispetto al valore iniziale.c. Stabilisci se la concentrazione salina dopo mezz'ora è pari al valore ottimale di $10 g / L. In caso di risposta negativa, quanto si dovrà ancora aspettare?d. È possibile che la concentrazione si annulli? [attach]56439[/attach]

remanzini_rinaldo · Accepted Answer

volume iniziale Vi = 100 dm^2 * 1 dm = 100 dm^3(litri)

concentrazione iniziale ci = 5.000 g/100 litri = 50 grammi/litro

c(t) = 5.000/(100+100*0,1*t) = 5.000/(100*(1+0,1t))

ci/2 = 25 = 5.000/(100+10t)

2.500+250t = 5.000

t = 2.500/250 = 10 min

con t' = 30 min

c' = 5.000/(100+10*30) = 12,5 grammi/litro > 10

c'' = 10 = 5.000/(100+10t'')

1.000+100t'' = 5.000

t'' = 4000/100 = 40 min > mezz'ora (30 min )

per ridurre la concentrazione ad un valore prossimo a zero è necessaria una quantità d'acqua enormemente grande (tralasciando di parlare di infinito che è un concetto "scivoloso")

remanzini_rinaldo

(@remanzini_rinaldo)

114474 punti

livello:

Genius II

31288 Risposte
14 5721 11695

05/10/2023 09:50

exProf · Answer

All'istante t = 0 di apertura del rubinetto la concentrazione è
* c(0) = C = m/V = (5 kg)/((1 m^2)*(10 cm)) = (5000 g)/(100 L) = 50 g/L
---------------
a) In funzione del tempo, espresso in minuti, l'acqua aumenta di ΔV(t) = (1 m^2)*(1 cm/min) = 10 L/min, quindi
* c(t) = m/(V + ΔV(t)) = 5000/(100 + 10*t) = 500/(t + 10) g/L
---------------
b) 500/(t + 10) = 50/2 ≡ t = 10 minuti
---------------
c) 500/(30 + 10) = 25/2 = 12.5 > 10 g/L; 500/(t + 10) = 10 ≡ t = 40 minuti
---------------
d) Per com'è formulata la narrativa non solo è possibile, ma è certo!
"L'altezza del prisma è 50 cm" dice che la capacità del bollitore è di 500 L, non illimitata.
Non essendo mai nominata la chiusura del rubinetto si deve intendere, ai fini di questo quesito, che l'acqua continui a fluire anche oltre i 40 minuti, traboccando; l'acqua che trabocca ha concentrazione via via calante all'aumentare del tempo e, poiché il numero di Avogadro per quanto elevato è pur sempre finito, da un certo istante in poi la vasca del bollitore conterrà solo acqua pura senza più traccia di sale.

exProf

(@exprof)

57382 punti

livello:

Genius I

13649 Risposte
37 3107 1795

05/10/2023 10:03

Aiuto

Domande