Considera la funzione y= a sin( wx )+ b cos( wx )+ c, con w>0.
a.determina a,b,c e w in modo che:
abbia periodo 4pigreco
Il suo grafico passi per il punto di coordinate (pigreco, 0)
abbia come immagine l'intervallo [-3,1]
Allora ho trovato w e c ma non riesco a trovare a {è -c} e b sapendo che A (???) (questo lo si intuisce dall'immagine) è 2.
Le soluzioni sono[a=1,b=+/-rad3 {vedi verifica1},c=-1,w=1/2]
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abbia periodo 4pigreco
w =2pi/(4pi) = 1/2, --- > y = a sin(x/2) + b cos(x/2) + c
Il suo grafico passi per il punto di coordinate (pigreco, 0)
0 = a sin(pi/2) + b cos(pi/2) + c ---> c = -a
abbia come immagine l'intervallo [-3,1]
per via trigonometrica {lo faccio con Wolfram per fare prima } sai che sommando sinusoidi della stessa pulsazione w ottieni ancora una sinusoide con la stessa pulsazione e fase phi = p diversa... in particolare qui sommi seno con coseno con ampiezze diverse ...
facilmente per confronto ricavi:
A*cosp= b e -A*senp = a {che con A >0 a e senp hanno segno opposto}
A = sqrt(a² + b²)
p = arctan(-a/b)
e dall' "immagine" assegnata ricavi :
A = (|-3| + 1)/2 = 2
si tratta di sinusoide di ampiezza A = 2 e che però ha una "componente costante" -1 pari al termine c = -a = -1
pertanto:
b =sqrt(A² - a²) = sqrt(4 - 1) = sqrt3 {e non -sqrt3 ---> vedi verifica1}
inoltre p = arctan(-a/b) = arctan(-1/sqrt3) = - pi/6 ---> -30° ... si osserva che sen(-30°) =-0.5 < 0 quindi a >0 è congruente!
Immagino che con "w doppio vu minuscolo" tu intenda "ω o-mega minuscolo", la pulsazione in radianti al secondo; quindi che la funzione da specificare sia * y = a*sin(ω*x) + b*cos(ω*x) + c, con ω > 0 e con x in secondi ≡ ≡ (√(a^2 + b^2))*sin(ω*x + arctg(b/a)) + c una sinusoide * di pulsazione ω rad/s * traslata in verticale di c * traslata in orizzontale di arctg(b/a)/ω s * scalata di √(a^2 + b^2) ------------------------------ I quattro parametri si determinano in base alle seguenti considerazioni. --------------- 1) Il periodo di sin(x + φ) è 2*π, quello di sin(k*x + φ) è 2*π/k. Per ottenere 2*π/ω = 4*π, occorre avere ω = 1/2 da cui * y = (√(a^2 + b^2))*sin(x/2 + arctg(b/a)) + c --------------- 2) L'immagine di sin(x + φ) è [- 1, 1], quella di A*sin(x + φ) è [- A, A], quella di A*sin(x + φ) + c è [- A + c, A + c]. Per ottenere [- 3, 1] occorre avere (- A + c = - 3) & (A + c = 1), cioè * c = - 1 * A = √(a^2 + b^2) = 2 da cui * y = 2*sin(x/2 + arctg(b/a)) - 1 --------------- 3) Per ottenere lo zero in (π, 0) si pone il vincolo d'appartenenza, con φ = arctg(b/a) * 0 = 2*sin(π/2 + φ) - 1 ≡ φ = arctg(b/a) = π/3 da cui * y = 2*sin(x/2 + π/3) - 1 --------------- 4) Per finire di soddisfare alla consegna "determina a,b,c e w" si sviluppa con la formula d'addizione del seno * y = 2*sin(x/2 + π/3) - 1 ≡ y = sin(x/2) + (√3)*cos(x/2) - 1