[Risolto] L'altezza e l'apotema di un tronco di piramide

Fai riferimento alla figura allegata e chiami x ed y gli spigoli incogniti.

La superficie di una faccia laterale vale:

Α = 1/2·(x + y)·a = 988/4 cm^2 ---->  Α = 247 cm^2

Quindi:

x + y = 2·Α/a------> x + y = 2·247/13

quindi: x + y = 38 cm

ΗΚ = x/2 - y/2  (vedi figura)

ΗΚ = √(13^2 - 12^2)-----> ΗΚ = 5 cm

Quindi risolvi:

{x + y = 38

{y/2 - x/2 = 5

ed ottieni: [y = 24 cm ∧ x = 14 cm]

L'altezza e l'apotema di un tronco di piramide quadrangolare regolare sono 12 cm e 13 cm. Sapendo che l'area laterale è 988 cm², calcola la misura di ciascuno degli spigoli di base del tronco.

==============================================

Perimetro della base maggiore $2p_1$;

perimetro della base minore $2p_2$;

spigolo della base maggiore $s_1$;

spigolo della base minore $s_2$;

somma dei perimetri $2p_1+2p_2 = \dfrac{2·Al}{a} = \dfrac{2×988}{13} = 152~cm$;

somma dei due spigoli $s_1+s_2 = \dfrac{152}{4} = 38~cm$;

proiezione apotema $pa = \sqrt{a^2-h^2} = \sqrt{13^2-12^2} = 5~cm$;

spigolo della base minore $s_2= \dfrac{38-2×5}{2} = 14~cm$;

spigolo della base maggiore $s_1=38-14 = 24~cm$.

Se dici "piramide quadrangolare regolare" non puoi dire "di ciascuno degli spigoli di base", ma hai l'obbligo di dire "dello spigolo di base" perché per definizione la base è un quadrato di lato il richiesto spigolo "s" (che è anche la base maggiore dei trapezi che sono le quattro facce laterali di area T = SL/4 = 988/4 = 247 cm^2).
L'area del trapezio, prodotto fra l'altezza a = 13 cm e la media delle basi (s + b)/2, è
* T = a*(s + b)/2 = 13*(s + b)/2 = 247 ≡ s = 38 - b
dà lo spigolo "s" della base maggiore in funzione di quello "b" della base minore.
Per calcolare "b" si considera il trapezio isoscele ottenuto sezionando il tronco con un piano che, contenendo l'altezza centrale, sia parallelo agli spigoli delle basi; esso ha
* lati obliqui = a = 13 cm
* altezza = h = 12 cm
* base minore = b
* base maggiore = s = 38 - b
Abbassando le altezze dai vertici della base minore sulla maggiore si formano due triangoli rettangoli d'ipotenusa "a" e cateti "h" e "(s - b)/2 = 19 - b" per i quali vale la relazione pitagorica
* a^2 = h^2 + (19 - b)^2 ≡
≡ 13^2 = 12^2 + (19 - b)^2 ≡
≡ (b = 14) oppure (b = 24)
da cui
* (s = 38 - 14 = 24) oppure (s = 38 - 24 = 14)
e, dovendo essere b < s, si conclude che
* s = 24 cm
-----------------------------
NOTA PERSONALE: a proposito del tuo ORRIBILE titolo gradirei che tu leggessi attentamente, e ci meditassi un po' su, la mia risposta al link
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/91008/