aiut

A [-6, 6]

C [6, -2]

Asse segmento AC

(x + 6)^2 + (y - 6)^2 = (x - 6)^2 + (y + 2)^2

x^2 + 12·x + y^2 - 12·y + 72 = x^2 - 12·x + y^2 + 4·y + 40

12·x - 12·y + 72 = - 12·x + 4·y + 40

24·x - 16·y + 32 = 0

3·x - 2·y + 4 = 0 ---> y = 3·x/2 + 2

generico punto: [x, 3·x/2 + 2]  con x>0 per D

E [0, 2] è punto medio segmento AC

lato rombo: l = 4·√65/4 = √65

A [-6, 6] ; E [0, 2]

AE = √((-6 - 0)^2 + (6 - 2)^2) = 2·√13

DE = √((x - 0)^2 + (3·x/2 + 2 - 2)^2) = √13·x/2

(x>0)

Deve essere:

√((2·√13)^2 + (√13·ABS(x)/2)^2) = √65

elevando al quadrato:

13·(x^2 + 16)/4 = 65---> x = -2 ∨ x = 2

per x = 2 si ha D

[2, 3·2/2 + 2]---> [2, 5]

per x= -2 si ha B

[-2, 3·(-2)/2 + 2]---> [-2, -1]

AC = 4·√13

ΒD = 2·√13

Α = 1/2·(4·√13)·(2·√13)---> Α = 52

r = Α/p con p= semiperimetro rombo

r = 52/(2·√65)---> r = 2·√65/5

Lato del rombo:

   * Perimetro = 4 * lato

   * 4√65 = 4 * lato

   * lato = √65

* Diagonale AC:

   * Utilizziamo la formula della distanza tra due punti:

     * AC = √[(6 - (-6))^2 + (-2 - 6)^2] = √(12^2 + (-8)^2) = √(144 + 64) = √208 = 4√13

* Punto medio M di AC:

   * M ha coordinate: [(x_A + x_C)/2 , (y_A + y_C)/2] = [(-6 + 6)/2 , (6 + (-2))/2] = (0 , 2)

* Diagonale BD:

   * Sappiamo che le diagonali di un rombo sono perpendicolari e si bisecano. Quindi, il punto medio M è anche il punto medio di BD.

   * Inoltre, la lunghezza di BD può essere trovata usando il teorema di Pitagora (metà di AC e metà di BD sono i cateti di un triangolo rettangolo con lato del rombo come ipotenusa):

     * (AC/2)^2 + (BD/2)^2 = lato^2

     * (2√13)^2 + (BD/2)^2 = (√65)^2

     * 52 + (BD^2)/4 = 65

     * BD^2 = 52

     * BD = 2√13

* Vertici B e D:

   * Poiché M è il punto medio di BD, possiamo scrivere:

     * x_M = (x_B + x_D)/2  e  y_M = (y_B + y_D)/2

   * Sappiamo anche che la diagonale BD è perpendicolare ad AC. Possiamo usare questa informazione per trovare le coordinate di B e D.

   * Dopo alcuni calcoli (che coinvolgono l'uso della pendenza di AC e la formula della distanza), otteniamo:

     * B(-2, -1) e D(2, 5) (D nel primo quadrante)

* Area del rombo:

   * Area = (1/2) * AC * BD = (1/2) * 4√13 * 2√13 = 52

* Raggio della circonferenza inscritta:

   * Area = semiperimetro * raggio

   * semiperimetro = perimetro/2 = 2√65

   * 52 = 2√65 * raggio

   * raggio = 2√65 / 5

4. Risultati:

* Vertici: B(-2, -1) e D(2, 5)

* Area: 52

* Raggio: (2√65)/5