a quale angolo, in gradi, deve inclinare la balestra per colpire la mela?

Guglielmo Tell deve colpire con la balestra la mela posta sulla testa di suo figlio Gualtierino posto a distanza d di 94,9 metri. Tenendo conto del fatto che la velocità iniziale della freccia è di Vo = 128,6 m/s e che, se mira direttamente alla mela, la freccia parte orizzontalmente, a quale angolo, in gradi, deve inclinare la balestra per colpire la mela?

moto orizzontale :

d = Vo*cos Θo*t 

t = d/(Vo*cos Θo)

moto verticale 

0 = Vo*sen Θo*t-4,903t^2

4,903*t^2 = Vo*sen Θo*t

t si semplifica

4,903*d/(Vo*cos Θo) = Vo*sen Θo

4,903*94,9 = Vo^2*sen Θo*cos Θo

sen Θo*cos Θo = 4,903*94,9/128,6^2 = 0,0281 

 sen^2 Θo*cos^2 Θo= 0,000792

 sen^2 Θo+cos^2 Θo = 1 

sen^2 Θo = a

cos^2 Θo = b

a = 1-b

(1-b)*b = 0,000792

0 = -b+b^2+0,000792

b = (1+√1-0,000792*4)/2 = 0,9992 = cos^2 Θo

a = (1-√1-0,000792*4)/2 = 0,0007926 = sen^2 Θo

sen Θo = 0,0282 

Θo = arcsen 0,0282 = 1,61° ( ≅ 1° 37' ) 

per un angolo intuitivamente molto piccolo , lo scostamento del coseno dall'unità è di pochi perdiecimila , pertanto il valore del prodotto sen Θo*cos Θo coincide con sen Θo da cui prontamente si ricava Θo

il moto si svolge con equazioni

x = vo t cos @

y = h + vo t sin @ - g/2 t^2

occorre che quando x = D sia y = h

D = vo T cos @ =>   T = D/(vo cos @)

h = h + vo sin @ * D/(vo cos @) - g/2 D^2 /(vo^2 cos^2(@))

D tg @ - g D^2/(2 vo^2 cos^2(@)) = 0

tg @ - g D/(2 vo^2) * 1/cos^2(@) = 0

ma essendo cos @ = 1/sqrt(1 + tg^2(@))

1/cos^2(@) = 1 + tg^2(@)

tg^2(@) + 1 = 2 vo^2/(gD) * tg @

tg^2(@) - 2 vo^2 /(gD) tg @ + 1 = 0

sostituendo i valori numerici, posto w = vo^2/(gD) = ... = 17.764

tg @ = w - sqrt(w^2 - 1) = 0.0282 (ho scelto l'angolo minore)

@ = 1.615°

Aggiunta : so che é esatto, perché ho provato con un altro metodo che é

più semplice. Basta infatti imporre che l'ascissa di massima altezza,

vo^2 sin (2@)/(2g) sia uguale a D/2

per cui si deduce subito  sin (2@) = gD/vo^2

e @ = 1/2 arcsin* (gD/vo^2)

* 94,9 = 949/10 m
* 128,6 = 643/5 m/s
"se mira direttamente ... la freccia parte orizzontalmente" vuol dire
* lancio dal punto O(0, 0)
* bersaglio nel punto B(949/10, 0)
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Un punto materiale lanciato dal punto Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V, vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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Con
* h = 0, V = 643/5, g = 9.80665
si ha
* x(t) = (643/5)*cos(θ)*t ≡ t = 5*x/(643*cos(θ))
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t = ((643/5)*sin(θ) - (196133/40000)*t)*t ≡
≡ y(x) = ((643/5)*sin(θ) - (196133/40000)*5*x/(643*cos(θ)))*5*x/(643*cos(θ)) ≡
≡ y(x) = x*tan(θ) - (196133/(25720*cos(θ))^2)*x^2
Dai vincoli
* y(949/10) = (949/10)*tan(θ) - (196133/(25720*cos(θ))^2)*(949/10)^2 = 0
* θ in [- π/2, π/2]
cioè
* ((949/10)*tan(θ) = (196133/(25720*cos(θ))^2)*(949/10)^2) & (- π/2 < θ < π/2) ≡
≡ (θ ~= 0.0281517 rad) oppure (θ ~= 1.54264 rad) ~≡
~≡ (θ ~= 1° 36' 46.7'') oppure (θ ~= 88° 23' 12'')
Guglielmo Tell DEVE scegliere il tiro teso (θ ~= 1° 37') in modo che il quadrello perfori solo la mela con un angolo di - θ senza sfiorare un capello a Gualtierino il cui cranio sarebbe invece perforato quasi verticalmente se Guglielmo scegliesse il tiro indiretto (θ ~= 88° 23').