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Problema:

In due triangoli isosceli simili le altezze relative alla base misurano 12cm e 9cm. Sapendo che l'area del primo è 192cm², calcola l'area del secondo triangolo.

Soluzione:

Poiché i triangoli sono simili, è possibile impostare una proporzione.

Rinominando il primo triangolo come A ed il secondo triangolo come B, si ha:

$\frac{h²_A}{h²_B}=\frac{A_A}{A_B}$ [l'elevazione al quadrato è dovuta al fatto che si sta discutendo di aree, può immaginare l'equazione così: $■_{\frac{h_A}{h_B}}=▲_{\frac{A}{B}}$]

$A_B=\frac{A_Ah²_B}{h²_A}=\frac{192cm² \times (9cm)²}{(12cm)²}=108cm²$

In due triangoli isosceli simili le altezze relative alla base misurano 12 cm e 9 cm . Sapendo che l'area del primo A è 192 cm^2, calcola l'area A' del secondo triangolo. [108 cm²]

l'area è proporzionale al quadrato dello spigolo, pertanto il rapporto k di similitudine tra le aree è il quadrato del rapporto tra gli spigoli

K = (9/12)^2 = 9/16 

A' = A*k = 192*9/16 = 12*9 = 108 cm^2

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Rapporto di similitudine lineare tra 1° e 2° triangolo:

$k= \dfrac{\cancel{12}^4}{\cancel{9}_3} = \dfrac{4}{3};$

rapporto tra le aree $k^2= \left(\dfrac{4}{3}\right)^2 = \dfrac{16}{9};$

quindi, area del secondo trapezio:

$A_2= A_1 : k^2 = 192 : \dfrac{16}{9} = \cancel{192}^{12} × \dfrac{9}{\cancel{16}_1} = 12×9 = 108\,cm^2.$