[Risolto] Un elettricista ha appoggiato una scala di 5,0 kg e lunga 2,3 m

5000 grammi per due montanti da 230 centimetri e otto o nove scalini fra essi farebbero una densità lineare media di circa 22 g/cm: foss'anche costruita nella più resistente delle leghe, non reggerebbe nemmeno la sola cassetta degli attrezzi e figurarsi l'elettricista!
La situazione descritta, che vorrebb'essere concreta, risulta invece irrealistica.
Mi sembra assai più credibile ricondurre il problema a uno schema un filino più astratto.
Un'asta rigida "di 5,0 kg e lunga 2,3 m" e di sezione trascurabile è poggiata "a un muro che ha un attrito trascurabile, con un'inclinazione di 60° rispetto al pavimento" dove l'attrito c'è e basta a reggere l'asta.
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Il complesso "muro, pavimento, asta" è un triangolo rettangolo metà di un triangolo equilatero di lato L = 23 dm e altezza h = (√3/2)*L = (23/2)*√3 ~= 19.92 dm
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In un riferimento Oxy coll'asse y sul muro e la scala poggiata nel primo quadrante le posizioni risultano
* O(0, 0) = incrocio muro-pavimento
* X(L/2, 0) = piede della scala al suolo
* Y(0, (√3/2)*L) = piede della scala al muro
* G(L/4, (√3/4)*L) = baricentro
* H(h/√3, h) = attacco della cassetta con h > (√3/4)*L
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Il complesso "muro, pavimento, asta" è un triangolo rettangolo OXY, metà di un triangolo equilatero di lato la lunghezza L dell'asta e di altezza |OY| = (√3/2)*L.
I punti G e H con le loro proiezioni al suolo formano con X triangoli simili ad OXY.
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Le forze applicate sono
* a(0, - a) nel punto G = peso proprio dell'asta
* c(0, - c) nel punto H = peso di sovraccarico della cassetta
* y(0, + y) nel punto X = reazione vincolare al suolo: componente verticale
* x(- x, 0) nel punto X = reazione vincolare al suolo: componente d'attrito orizzontale
* z(+ z, 0) nel punto Y = reazione vincolare al muro: sola componente orizzontale
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L'asta mantiene l'equilibrio e resta ferma se e solo se valgono entrambe le condizioni di risultante nulla e momento risultante nullo.
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Forza risultante R applicata nel punto G
* R(- x + z, - a - c + y) = (0, 0) ≡ (z = x) & (y = a + c)
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Momento risultante attorno al punto G, positivo antiorario
* - x*(√3/2)*L = coppia delle reazioni orizzontali
* + y*(L/2 - L/4) = momento della reazione verticale
* + c*h/√3 = momento del sovraccarico
quindi
* (y = a + c) & (y*(L/2 - L/4) + c*h/√3 = x*(√3/2)*L) ≡
≡ (x = (a + c)/(2*√3) + (2/3)*(h/L)*c) & (y = a + c)
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Con i dati dell'esercizio in unità SI
* a = 5 kg
* c = 8 kg
* L = 2.3 m
* h = 1.8 m
si ha
* (x = (5 + 8)/(2*√3) + (2/3)*(1.8/2.3)*8) & (y = 5 + 8) ≡
≡ (x = 13/(2*√3) + 96/23 ~= 7.9) & (y = 13) newton
Modulo e anomalia della reazione vincolare V al suolo
* √((13/(2*√3) + 96/23)^2 + 13^2) = √(1272805/3 + 38272*√3)/46 ~= 15.2 N
* arctg(13/(13/(2*√3) + 96/23)) ~= 1.02 rad ~= 58° 37' 39''