Allunga lo scivolo In un parco acquatico, il profilo dello scivolo di una piscina è rappresentato dal tratto di grafico della funzione
$$
y=\frac{a x^2+b}{4 x^2+5}
$$
evidenziato in figura, dove le misure indicate sono in metri (l'acqua è ad altezza 0).
a. Trova $a$ e $b$.
b. Quale sarebbe l'altezza limite del punto più basso dello scivolo se aumentassimo sempre più la sua lunghezza?
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Livello 2
Sostituisci a x, y le coordinate dei due punti dati;
A(0;6);
6 = (a * 0 + b) / (4 * 0 + 5);
6 = b / 5;
b = 6 * 5 = 30;
B(5; 16/21);
y = (a x^2 + 30) / (4 x^2 + 5);
16/21 = (a * 25 + 30) / (4 * 25 + 5);
16/21 = (25 a + 30) / 105;
25 a + 30 = 105 * 16/21;
25 a = 5 * 16 - 30;
25 a = 80 - 30;
a = 50 / 25 = 2;
y = (2x^2 + 30) /(4x^2 + 5);
dividiamo per x^2:
y = (2 + 30/x^2) / 4 + 5/x^2)
Per x che tende a + infinito 30/x^2 = 0; 5/x^2 = 0;
Rimane:
y = (2 + 0)/(4 + 0) = 2/4 = 0,5 m; altezza limite dal livello dell'acqua.
Ciao @alfonso3
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Genius II
Due condizioni di appartenenza ed un limite di basso rango.
Procediamo
6 = b/5 => b = 30
16/21 = (a*25 + 30)/(4*25 + 5)
da cui 25 a + 30 = 105*16/21 = 80
25 a = 50
a = 2
y = (2x^2 + 30)/(4x^2 + 25)
e il valore richiesto é
lim_x->+oo (2 + 30/x^2)/(4 + 5/x^2) = 2/4 = 0.5 m
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Livello 7
I vincoli imposti dalle condizioni d'appartenenza dei punti V(0, 6) ed L(5, 16/21) determinano i parametri
* (6 = (a*0^2 + b)/(4*0^2 + 5)) & (16/21 = (a*5^2 + b)/(4*5^2 + 5)) ≡
≡ (a = 2) & (b = 30)
da cui
* y = (2*x^2 + 30)/(4*x^2 + 5)
che presenta
* lim_(x → ∞) (2*x^2 + 30)/(4*x^2 + 5) =
= lim_(x → ∞) (2 + 30/x^2)/(4 + 5/x^2) = 2/4 = 1/2 = 0.5
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Genius I
