[Risolto] Rappresenta l'ellisse di equazione 3x2 + 4y2 - 6x + 24y + 27 = 0 e determinane l'eccentricità, le coordinate dei fuochi e l'equazione della retta tangente nel punto di ordinata -3 e di minore ascissa.

3·x^2 + 4·y^2 - 6·x + 24·y + 27 = 0

ellisse traslata:

(3·x^2 - 6·x + 3) + (4·y^2 + 24·y + 36) + (27 - 3 - 36) = 0

3·(x - 1)^2 + 4·(y + 3)^2 + (-12) = 0

3·(x - 1)^2 + 4·(y + 3)^2 = 12

(x - 1)^2/4 + (y + 3)^2/3 = 1

α = a^2 = 4 ( quindi a=2 semiasse maggiore)

β = b^2 = 3 ( quindi b = √3 semiasse minore)

α - β = γ = c^2

4 - 3 = γ----> c^2= 1

[1, -3] centro ellisse traslata

[0, -3] F1

[2, -3] F2

e = c/a =1/2

Retta tangente richiesta x=-1

Completo i quadrati

3x^2 - 6x + 3 + 4y^2 + 24y + 36 - 39 + 27 = 0

3(x - 1)^2 + 4(y + 3)^2 = 12

(x - 1)^2/4 + (y + 3)^2/3 = 1

centro in (1,-3)

a = 2

b = rad(3)

c^2 = 4 - 3 = 1

e = c/a = 1/2

grafico

https://www.desmos.com/calculator/acubdnyfqk

fuochi (1 - 1, -3) e (1 + 1, -3)

(0, -3) (2, -3)

https://www.desmos.com/calculator/l8xuhtjeir

punto di tangenza

(x - 1)^2/4 = 1

x - 1 = +- 2

x = 1 - 2 = -1

(-1, -3) é un vertice

e la tangente é x = -1

https://www.desmos.com/calculator/e0grou66ha