[Risolto] Esercizio disequazioni

Il tuo titolo altamente significativo purtroppo non basta a qualificarti "spiritoso" come forse t'illudevi. Secondo un antico modo di dire leccese di cui traduco il senso perché la lettera è intraducibile le persone "disinvolte ad ogni costo" sono come un torsolo di cavolfiore: allettante a prima vista, ma immangiabile.

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Per ogni funzione fratta:
* f(x) = N(x)/D(x)
definita per D(x) != 0, valgono le regole
a) f(x) < 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) > 0)) oppure ((D(x) > 0) & (N(x) < 0))
b) f(x) = 0 ≡ (D(x) != 0) & (N(x) = 0)
c) f(x) > 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) < 0)) oppure ((D(x) > 0) & (N(x) > 0))
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Per ogni prodotto P valgono le regole (sse = se e solo se)
a) P < 0 sse è < 0 un NUMERO DISPARI di fattori e nessuno è zero;
b) P = 0 sse è = 0 ALMENO un fattore;
c) P > 0 sse è < 0 un NUMERO PARI (anche zero) di fattori e nessuno è zero.
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Circa la disequazione
* (4*x^2 - 3*x + 3)/(5*x^2 - 3*x - 2) > - 1
il trattamento più banale è come segue.
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A) Sottrarre membro a membro il secondo membro.
* (4*x^2 - 3*x + 3)/(5*x^2 - 3*x - 2) > - 1 ≡
≡ (4*x^2 - 3*x + 3)/(5*x^2 - 3*x - 2) + 1 > 0 ≡
≡ f(x) = N(x)/D(x) = (9*x^2 - 6*x + 1)/(5*x^2 - 3*x - 2) > 0
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B) Fattorizzare N(x)e D(x) ed escludere D(x) = 0.
* f(x) = N(x)/D(x) = (9*x^2 - 6*x + 1)/(5*x^2 - 3*x - 2) > 0 ≡
≡ 9*(x - 1/3)^2/(5*(x + 2/5)*(x - 1)) > 0
f(x) è definita per x non in {- 2/5, 1} ed è nulla per x = 1/3.
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C) Esclusi i valori di x in {- 2/5, 1/3, 1} si possono eliminare i fattori
* 9, 5, (x - 1/3)^2
che non influirebbero sul segno e ridursi a
* 9*(x - 1/3)^2/(5*(x + 2/5)*(x - 1)) > 0 ≡
≡ 1/((x + 2/5)*(x - 1)) > 0 ≡
≡ (x + 2/5)*(x - 1) > 0
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D) Il prodotto di due fattori è positivo sse essi sono concordi.
* (x + 2/5)*(x - 1) > 0 ≡
≡ (x + 2/5 < 0) & (x - 1 < 0) oppure (x + 2/5 > 0) & (x - 1 > 0) ≡
≡ (x < - 2/5) oppure (x > 1)