[Risolto] 229 valori assoluti

Problema:

Si risolva la seguente disequazione:

$2\ln{2} +\ln{\sqrt{1+\cos x}}+\frac{\ln{(1-\cos x)}}{2}<-\ln{|\cos x|}$

Soluzione:

$2\ln{2} +\ln{\sqrt{1+\cos x}}+\frac{\ln{(1-\cos x)}}{2}<-\ln{|\cos x|}$

Per le proprietà dei logaritmi diventa

$\ln{4\sqrt{1+\cos x}\sqrt{1-\cos x}|\cos x|}<0$

$\ln{4\sqrt{1-\cos²x}|\cos x|}<0$

$\ln{4| \sin x \cos x}|<0$

$\ln{2|\sin2x|}<0$

Tenendo a mente che |sin2x|>0 ossia $\frac{kπ}{2}<x<\frac{π}{2}+\frac{kπ}{2}$, con $k\in\mathbb{Z}$, si ha che

$2|\sin2x|<1$

$|\sin2x|<\frac{1}{2}$

posto t=2x

$|\sin t|<\frac{1}{2}$

ossia

$\frac{π}{6}+kπ<t<\frac{5π}{6}+kπ$ 

Nota: viene utilizzato il periodo T=kπ perché la funzione è in valore assoluto e dunque, graficamente, tutto ciò che vi era al di sotto dell'asse delle ascisse viene "ribaltato", conseguenza di ciò è che il periodo viene dimezzato. [Veda l'immagine allegata]

Sostituendo:

$\frac{π}{6}+kπ<2x<\frac{5π}{6}+kπ$

$\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}<x<\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}$ 

Utilizzando la tabella dei segni tra 

$\frac{kπ}{2}<x<\frac{π}{2}+\frac{kπ}{2}$ e 

$\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}<x<\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}$ si ottiene:

0 - $\frac{π}{12}$ + $\frac{5π}{12}$ - $\frac{π}{2}$, dato che il segno della disequazione è <, è necessario prendere in considerazione gli intervalli negativi. Si ottiene dunque:

$\frac{kπ}{2}<x<\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2} \vee \frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}<x<\frac{π}{2}+\frac{kπ}{2}$, ove $k\in\mathbb{Z}$. 

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.