[Risolto] 2 esercizi sulla parabola

1) Verificare l'appartenenza di un punto A a una conica Γ e determinare la retta ivi tangente si fa con un'operazione unica: si determina la retta p, polare di A, per sdoppiamento della forma normale canonica f(x, y) = 0 di Γ; si interseca p con Γ e si contano le intersezioni.
* nessuna intersezione ≡ A è nella concavità di Γ, nessuna retta tangente Γ passa per A.
* una intersezione doppia in A ≡ A è su Γ, p è la retta tangente Γ in A.
* due intersezioni distinte T1 e T2 ≡ A è sulla convessità di Γ, T1 e T2 sono di tangenza delle due rette (AT1, AT2) tangenti Γ condotte da A.
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* A(2, 13)
* Γ ≡ y = 5*x^2 - 4*x + 1 ≡ 5*x^2 - 4*x - y + 1 = 0
* p ≡ 5*x*2 - 4*(x + 2)/2 - (y + 13)/2 + 1 = 0 ≡ y = 16*x - 19
* p & Γ ≡ (y = 16*x - 19) & (y = 5*x^2 - 4*x + 1) ≡ A(2, 13)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D+16*x-19%2Cy-1%3D5*x%5E2-4*x%5D
NOTE
Il carattere "* asterisco" è l'operatore di moltiplicazione.
Il carattere "^ caret" è l'operatore di esponenziazione.
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2) Questo è ancora più semplice perché il polo P(0, 1) è ricavato direttamente da
* Γ ≡ y = - 2*x^2 + x + 1 ≡ 2*x^2 - x + y - 1 = 0
il che garentisce che la polare p sia tangente, senza nemmeno il sistema "p & Γ".
* p ≡ 2*x*0 - (x + 0)/2 + (y + 1)/2 - 1 = 0 ≡ y = x + 1
Polare p che, avendo pendenza m = 1, risulta parallela alla bisettrice dei quadranti dispari.