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Problema:

L'ipotenusa di un triangolo rettangolo è 65 cm e un cateto misura 52 cm . Calcola la misura della proiezione del cateto dato sull'ipotenusa.

Soluzione:

Per svolgere il quesito è opportuno trovare anche l'altro cateto del triangolo ABC, esso può essere ricavato tramite il teorema di pitagora:

$\overline{AB}²+\overline{AC}²=\overline{BC}² \rightarrow \overline{AB}=|±\sqrt{\overline{BC}²-\overline{AC}²}|=|±\sqrt{(65 cm)²-(52 cm)²}|=39 cm$

Nominando la proiezione del punto A sull'ipotenusa P si ha che $\overline{BC}=\overline{BP}+\overline{PC}$; si formano dunque i triangoli rettangoli ABP e APC per i quali valgono le seguenti relazioni.

$\overline{AC}²=\overline{CP}²+\overline{AP}²$

$\overline{AB}²=\overline{BP}²+\overline{AP}²$

il testo richiede di trovare la proiezione del cateto sull'ipotenusa, il quale nel caso in questione risulta essere il segmento $\overline{BP}$. È necessario dunque risolvere il seguente sistema:

$\overline{AC}²-\overline{CP}²=\overline{AP}²$

$\overline{AB}²-\overline{BP}²=\overline{AP}²$

$\overline{BP}+\overline{CP}=\overline{BC}$

Che risulta in: 

$(\overline{BP_1},\overline{AP_1})=(\frac{208}{5}cm, -\frac{156}{5}cm)$

$(\overline{BP_2},\overline{AP_2})=(\frac{208}{5} cm, +\frac{156}{5}cm)$

Poiché la seconda soluzione contiene un elemento di lunghezza negativa essa va scartata, si ha dunque che la soluzione del sistema risulta essere:

$(\overline{BP},\overline{AP})=(\frac{208}{5} cm, \frac{156}{5} cm)$

La risposta al quesito risulta dunque essere: $\overline{BP}=\frac{208}{5} cm =41,6 cm$.

Immagine realizzata tramite WhatsApp.

Perdonami l'immagine con le linee storte ma non ho una tavoletta grafica.

p =  c^2/i = 52^2/65 = 13^2*4^2/(13*5) = 13*16/5 = 41,60 cm 

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Proiezione del cateto $p= \dfrac{52^2}{65} = \dfrac{2704}{65} = 41,6\,cm$ (dal 1° teorema di Euclide).