Un cubo di spigolo $a$ ha un vertice nell'origine $O$ di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale ed è disposto come in figura. Si calcoli il flusso del campo elettrico attraverso la superficie del cubo e la carica $Q$ contenuta nel volume delimitato dal cubo, nei casi in cui il campo elettrico $E$ sia dato da ( $E, \alpha, \beta$ costanti):
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punti
Livello 1
a)
Se $E=\alpha x^2 i$, il campo esce perpendicolarmente solo dalle due facce del cubo parallele al piano yz.
Sulla faccia che si trova sul piano yz, che ha equazione $x=0$, il campo è nullo (E=\alpha\cdot 0^2 i = 0) e dunque anche il flusso.
Sulla faccia di equazione $x=a$, il campo è a essa perpendicolare, ha valore costante $E(a) = \alpha a^2 i$ e pertanto il flusso è semplicemente:
$ \Phi(E) = E(a) \cdot Area = \alpha a^2 \cdot a^2 = \alpha a^4$
e per Gauss:
$ Q = \Phi \cdot \epsilon_0 = \alpha a^4 \epsilon_0$
b)
$ E = \beta(xi + yj)$
Questa volta il campo è parallelo al piano xy, pertanto esce da tutte le facce laterali, mentre non ha contributo sulle due basi.
Calcoliamo il flusso attraverso le varie facce.
La faccia di equazione $x=a$ ha versore superficie $i$, il campo è della forma $E=\beta (a i+yj) e quindi il prodotto scalare ci dà:
$ \Phi_1 = \int_0^a dy \int_0^a dz \beta( a i + y j)\cdot (i) =\int_0^a dy \int_0^a dz \beta a = \beta a^3$
Analogamente la faccia di equazione $y=a$ con campo $E=\beta(xi + aj)$ e versore $j$ ci dà flusso:
$ \Phi_2 = \int_0^a dx \int_0^a dz \beta( x i + a j)\cdot (j) =\int_0^a dy \int_0^a dz \beta a = \beta a^3$
Le due facce sugli assi invece danno contributo nullo: vediamo per una (l'altra è identica).
La faccia sul piano xz (y=0) di versore $-j$ ha campo $E=\beta ai$ quindi:
$ \Phi_3 = \int_0^a dx \int_0^a dz \beta( ai + 0j)\cdot (-j) =\int_0^a dy \int_0^a dz 0 = 0$
Dunque il flusso totale è $\Phi = 2\beta a^3$ e per Gauss $Q= 2\beta a^3 \epsilon_0$
Noemi
9874
punti
Livello 5
